Qual é a derivada da função f(x) = e^x * sin(x)? a) cos(x) * e^x b) e^x * cos(x) + e^x * sin(x) c) e^x * cos(x) d) e^x * sen(x) - e^x * cos(x)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \sin(x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( v(x) = \sin(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = e^x \) - \( v'(x) = \cos(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x) \] Isso pode ser reescrito como: \[ f'(x) = e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x) = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) \] Analisando as alternativas: a) \( \cos(x) \cdot e^x \) - Incorreto. b) \( e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x) \) - Correto, pois é a forma correta da derivada. c) \( e^x \cdot \cos(x) \) - Incorreto. d) \( e^x \cdot \sin(x) - e^x \cdot \cos(x) \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: b) \( e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x) \).