hora do estudo 3H21L

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c) 3x + C 
d) 2x^2 + C 
 
Resposta: b) x^3/3 + C 
 
Explicação: Para integrar a função x^2 dx, utilizamos a regra da potência da integral 
indefinida. Ou seja, adicionamos 1 ao expoente e dividimos o resultado pelo novo expoente. 
Portanto, a integral de x^2 dx resulta em x^(2+1)/(2+1) + C, que simplificando fica x^3/3 + 
C. Portanto, a alternativa correta é a letra b) x^3/3 + C. 
 
Questão: Qual a derivada da função f(x) = e^x * sin(x)? 
 
Alternativas: 
a) cos(x) * e^x 
b) e^x * cos(x) + e^x * sin(x) 
c) e^x * cos(x) 
d) e^x * sen(x) - e^x * cos(x) 
 
Resposta: b) e^x * cos(x) + e^x * sin(x) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = e^x * sin(x), podemos utilizar a regra 
do produto. 
Seja u(x) = e^x e v(x) = sin(x), a derivada da função será dada por f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * 
v'(x). 
Calculando as derivadas, temos que u'(x) = e^x e v'(x) = cos(x). 
Substituindo na fórmula da derivada, obtemos f'(x) = e^x * cos(x) + e^x * sin(x). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 4 
b) f'(x) = 3x^2 + 4 
c) f'(x) = 6x + 5 
d) f'(x) = 6x - 4 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos as regras de derivação. 
Para termos a derivada de x^2 = 2x, e da constante -5 = 0, então a função f'(x) será a soma 
de todas as derivadas, ou seja, f'(x) = 6x + 4. Portanto, a alternativa correta é a letra a. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^2 * sen(x) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) 2x * sen(x) 
b) x^2 * cos(x) 
c) 2x * cos(x) 
d) x^2 * sen(x) + 2x * cos(x) 
 
Resposta: d) x^2 * sen(x) + 2x * cos(x) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^2 * sen(x), utilizamos a regra do 
produto. A derivada da função sen(x) é cos(x) e a derivada da função x^2 é 2x. Então, 
aplicando a regra do produto, temos que a derivada de x^2 * sen(x) é dada por (x^2 * 
cos(x)) + (2x * sen(x)), o que resulta em x^2 * sen(x) + 2x * cos(x). Portanto, a resposta 
correta é a alternativa d). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 - 4x + 5 
b) f'(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5 
c) f'(x) = 3x^2 - 4x + 6 
d) f'(x) = 3x^2 - 4x 
 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 - 4x + 5 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7, vamos diferenciar 
cada termo da função em relação a x. 
A derivada da função x^n é n*x^(n-1), onde n é o expoente. 
 
Portanto, a derivada de x^3 é 3x^2, a derivada de -2x^2 é -4x, a derivada de 5x é 5 e a 
derivada de -7 é 0. 
Assim, a derivada da função f(x) é f'(x) = 3x^2 - 4x + 5. Option a) é a resposta correta. 
 
Questão: Qual é a solução para a equação diferencial \(y'' + y = 0\) com as condições iniciais 
\(y(0) = 1\) e \(y'(0) = 0\)? 
 
Alternativas: 
a) \(y(x) = \sin(x)\)