Qual é o resultado da integral definida de x^3 + 2x^2 + 5 entre 0 e 1? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

Para calcular a integral definida de \( x^3 + 2x^2 + 5 \) entre 0 e 1, precisamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A antiderivada de \( 5 \) é \( 5x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 5x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 5 \cdot 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 5 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 3 é 12: \[ F(1) = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{60}{12} = \frac{3 + 8 + 60}{12} = \frac{71}{12} \] Agora, calculamos \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 5 \cdot 0 = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 5) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{71}{12} - 0 = \frac{71}{12} \] Como \( \frac{71}{12} \) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas. No entanto, se você precisar de um valor aproximado, \( \frac{71}{12} \approx 5,92 \). Nenhuma das alternativas (a) 4, (b) 6, (c) 8, (d) 10 é correta.