Para resolver a integral definida \( \int_{0}^{1} xe^{x^2} dx \), podemos usar a substituição. Vamos definir \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_{0}^{1} xe^{x^2} dx = \int_{0}^{1} e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} du \] Agora, calculamos a integral de \( e^{u} \): \[ \int e^{u} du = e^{u} + C \] Portanto, avaliando de 0 a 1: \[ \frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( e^{1} - e^{0} \right) = \frac{1}{2} (e - 1) \] Assim, o resultado da integral é: \[ \frac{e - 1}{2} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \) b) \( \frac{1}{e} \) c) \( \frac{e-1}{2e} \) d) \( \frac{e^2-1}{2e^2} \) A alternativa correta, que corresponde ao resultado que encontramos, é a opção c) \( \frac{e-1}{2} \).