Para resolver a integral \(\int \cos(x) \cdot e^x \ dx\), podemos usar o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \(u = \cos(x)\) \(\Rightarrow du = -\sin(x) \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int \cos(x) \cdot e^x \, dx = \cos(x) \cdot e^x - \int e^x \cdot (-\sin(x)) \, dx \] Isso se torna: \[ \int \cos(x) \cdot e^x \, dx = e^x \cdot \cos(x) + \int \sin(x) \cdot e^x \, dx \] Agora, precisamos resolver \(\int \sin(x) \cdot e^x \, dx\) da mesma forma, usando integração por partes novamente. Após resolver, você encontrará que: \[ \int \cos(x) \cdot e^x \, dx = e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x)) + C \] Analisando as alternativas: a) \(e^x \cdot \sin(x) + C\) - Incorreto. b) \(e^x \cdot \cos(x) + C\) - Incorreto. c) \(e^x \cdot ( \sin(x) + \cos(x)) + C\) - Correto. d) \(e^x \cdot (\cos(x) - \sin(x)) + C\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: c) \(e^x \cdot ( \sin(x) + \cos(x)) + C\).