Para determinar o valor de \( \sin(2x) \) dado que \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Sabemos que \( \cos(x) = \frac{1}{2} \). Agora, precisamos encontrar \( \sin(x) \). Quando \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), isso ocorre em \( x = \frac{\pi}{3} \) ou \( x = \frac{5\pi}{3} \). Para esses ângulos, temos: - Para \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Para \( x = \frac{5\pi}{3} \): \[ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Agora, vamos calcular \( \sin(2x) \) para ambos os casos. 1. Para \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ \sin(2x) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Para \( x = \frac{5\pi}{3} \): \[ \sin(2x) = 2 \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Como estamos buscando o valor de \( \sin(2x) \) e a pergunta não especifica o quadrante, a resposta mais comum e positiva é: A alternativa correta é b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).