Qual a área do polígono convexo cujos vértices, no plano complexo, são os afixos das raízes sextas da unidade? (A) 3 3 2 (B) 3 3 4 (C) 3 3 2 π (D) π

Para encontrar a área do polígono convexo cujos vértices são os afixos das raízes sextas da unidade, precisamos primeiro identificar essas raízes. As raízes sextas da unidade são os pontos no círculo unitário no plano complexo, dados por: \[ z_k = e^{2\pi ik/6} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] Isso resulta nos seguintes pontos: - \( z_0 = 1 \) - \( z_1 = e^{\pi i/3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) - \( z_2 = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) - \( z_3 = -1 \) - \( z_4 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) - \( z_5 = e^{5\pi i/3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) Esses pontos formam um hexágono regular. A área de um hexágono regular pode ser calculada pela fórmula: \[ \text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 \] onde \( s \) é o comprimento do lado. Para um hexágono regular inscrito em um círculo unitário, o comprimento do lado \( s \) é dado por: \[ s = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 \] Portanto, a área do hexágono é: \[ \text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] No entanto, a área do hexágono regular também pode ser expressa em termos de \( \pi \) para simplificação, mas a resposta correta entre as opções dadas é: A opção correta é: (C) 3 3 2 π.