Uma das raízes cúbicas de um número complexo é 3 i . Quais são as outras? (A) 3 e 3i i   (B) 3 e 2i i  (C) 3 e 2i i  (D) 3 , 3 e 2i i  

Para encontrar as raízes cúbicas de um número complexo, podemos usar a forma polar do número complexo e a fórmula de De Moivre. Primeiro, vamos identificar o número complexo dado: \( z = 3 - i \). 1. Encontrar o módulo: \[ |z| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] 2. Encontrar o argumento: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right) \] 3. Forma polar: \[ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \] 4. Raízes cúbicas: As raízes cúbicas de um número complexo são dadas por: \[ z_k = |z|^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) \right) \quad (k = 0, 1, 2) \] Calculando as raízes, encontramos que as outras raízes cúbicas de \( 3 - i \) são \( 3 \) e \( 3 + 2i \) e \( 3 - 2i \). Analisando as alternativas: (A) 3 e \( 3 + 2i \) e \( 3 - 2i \) (B) 3 e \( 2i \) e \( 3 - i \) (C) 3 e \( 2i \) e \( 3 - 2i \) (D) 3, \( 3 \) e \( 2i \) e \( 3 - 2i \) A alternativa correta que apresenta as outras raízes cúbicas é: (A) 3 e \( 3 + 2i \) e \( 3 - 2i \).