Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2y + y \) no ponto \( P(2, 1) \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = (5, -2) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 1 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = (2xy, x^2 + 1) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( P(2, 1) \): \[ \nabla f(2, 1) = (2 \cdot 2 \cdot 1, 2^2 + 1) = (4, 5) \] 3. Normalize o vetor \( \mathbf{u} \): O vetor \( \mathbf{u} = (5, -2) \) deve ser normalizado: \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] O vetor unitário \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}}f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f(2, 1) \cdot \mathbf{u} \] \[ D_{\mathbf{u}}f = (4, 5) \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right) = \frac{4 \cdot 5 + 5 \cdot (-2)}{\sqrt{29}} = \frac{20 - 10}{\sqrt{29}} = \frac{10}{\sqrt{29}} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) no ponto \( (2, 1) \) na direção do vetor \( (5, -2) \) é \( \frac{10}{\sqrt{29}} \).