Calcule a derivada de f(x) = ln(sin(x)). a) cot(x) b) cos(x)/sin(x) c) 1/sin(x) d) sin(x)/x

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = \sin(x) \). 1. A derivada de \( \sin(x) \) é \( \cos(x) \). 2. Portanto, a derivada de \( f(x) \) é: \[ f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \] Agora, analisando as alternativas: a) cot(x) - Esta é a forma correta, pois \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). b) cos(x)/sin(x) - Esta é a mesma expressão que \( \cot(x) \). c) 1/sin(x) - Esta é a derivada de \( \ln(\sin(x)) \) sem o fator \( \cos(x) \). d) sin(x)/x - Esta não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: a) cot(x).