Determine a derivada de f(x) = x^2 sin(x). a) 2x sin(x) + x^2 cos(x) b) 2x sin(x) - x^2 cos(x) c) x^2 sin(x) + 2x d) 2sin(x) + x^2 cos(x)

Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^2 \sin(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( v(x) = \sin(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2x \) - \( v'(x) = \cos(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x)(\sin(x)) + (x^2)(\cos(x)) \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \] Analisando as alternativas: a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) - Correto! b) \( 2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \) - Incorreto. c) \( x^2 \sin(x) + 2x \) - Incorreto. d) \( 2\sin(x) + x^2 \cos(x) \) - Incorreto. A alternativa correta é a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).