Para calcular a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \cos(x) \), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( v(x) = \cos(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2e^{2x} \) (usando a regra da cadeia) - \( v'(x) = -\sin(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2e^{2x})(\cos(x)) + (e^{2x})(-\sin(x)) \] Isso simplifica para: \[ f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \] Podemos fatorar \( e^{2x} \): \[ f'(x) = e^{2x} (2\cos(x) - \sin(x)) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( e^{2x}(\cos(x) - 2\sin(x)) \) b) \( e^{2x}(-\sin(x)) \) c) \( 2e^{2x} \cos(x) \) d) \( 2e^{2x}(-\sin(x)) \) A alternativa correta, que corresponde à nossa derivada, é a) \( e^{2x}(\cos(x) - 2\sin(x)) \).