Matemática Vol 01 (Setor 813) (1)

Prévia do material em texto

PV3N-11-21
37Matemática 813 37
Módulo 1· Trigonometria – Razões trigonométricas 
e ângulos notáveis
Definição1. 
Consideremos um triângulo ABC retângulo em  com lados a, b e c.
A
CB a
bc
B C
seno de um ângulo agudo = medida do cateto oposto
medida da hipotenusa
cosseno de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente
medida da hipotenusa
tangente de um ângulo agudo = medida do cateto oposto
medida do cateto adjacente
secante de um ângulo agudo = 
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacente
cossecante de um ângulo agudo = 
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto
cotangente de um ângulo agudo = medida docateto adjacente
medida do cateto oposto
Assim:
senB
b
a
 =
cosB
c
a
 =
tgB
b
c
 =
Exemplo
No triângulo ABC da figura, retângulo em C, as medidas 
são: AC = 5 cm e BC = 12 cm. Determinar:
sen a) a e sen β
cos b) a e cos β
tg c) a e tg β
cosec d) a e cosec β
sec e) a e sec β
cotg f) a e cotg β
C
BA
125
Calculando a hipotenusa por Pitágoras, temos:
AB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 ⇒ AB = 13 cm
sen a) a = 12
13
 e sen β = 5
13
cos b) a = 5
13
 e cos β = 12
13
tg c) a = 12
5
 e tg β = 5
12
cosec d) a = 13
12
 e cosec β = 13
5
sec e) a = 13
5
 e sec β = 13
12
cotg f) a = 5
12
 e cotg β = 12
5
Observe que, se a e β são agudos e a + β = 90°,
então:
sen a = cos β
cos a = sen β
tg a = cotg β
Ângulos notáveis2. 
Ângulo de 45°a) 
Consideremos um quadrado de lado a:
a 2 a
45º
a
sen
tg
45
2
2
2
2
2
45
2
2
2
2
2
45 1
° = ⋅ =
° = ⋅ =
° = =
a
a
a
a
a
a
cos
DResposta: 
A
C
Bx
13
132 = x2 + 52 �x = 12
5
cos β = =cateto adjacente
hipotenusa
12
13
38
38
Ângulos de 30° e 60°b) 
Consideremos um triângulo equilátero de lado a:
30º
60º
a a
a
2
a
2
a 3
2
 
sen
cos sen
tg
30 60 2 1
2
30 60
3
2 3
2
30 2
3
2
1
3
3
3
° = ° = =
° = ° = =
° = = ⋅
cos
a
a
a
a
a
a
==
° = =
3
3
60
3
2
2
3tg
a
a
Tabela3. 
30° 45° 60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
Exemplos
A – Calcular o valor de x na figura abaixo.
60º
A
B H3 m C
x
45º
Resolução
No triângulo ABH, temos:
tg
AH AH
AHo60
3
3
3
3 3= ⇒ = ⇒ =
No triângulo AHC, temos:
sen 45
2
2
3 3 6 3
2
2
2
6 6
2
° = ⇒ = ⇒ = ⋅ =AH
x x
x
Assim, x = 3 6 m 
B – Calcular as medidas dos ângulos internos do triân-
gulo ABC da figura:
2 6
A
C2HB
4
Resolução
No triângulo AHC, temos:
cosC
2
4
1
2
C 60
C
oˆ ˆ
sen ˆ sen
= = ⇒ =
= ⇒ ° = ⇒ = ⇒ =AH AH AH AH
4
60
4
3
2 4
2 3
 No triângulo ABH, temos:
sen sen
sen
B B
B B
 
 
= ⇒ = ⇒
⇒ = ⋅ = ⇒ = °
AH
2 6
2 3
2 6
1
2
2
2
2
2
45
Logo: C B e A B C A     = ° = ° + + = ° ⇒ = °60 45 180 75;
Exercícios de Aplicação
O cosseno do ângulo 1. β, assinalado na figura abaixo, é:
5
13
a) 
7
12
b) 
5
12
c) 
12
13
d) 
5
7
e) 
A
C
Bx
13
5
CResposta: 
60º
A
B D
h
x y
a
C
45º
2 m
No ∆ABD, temos:
cos 60
2
1
2 2
1
60
2
3
2 2
3
5
° = ⇒ = ⇒ =
° = ⇒ = ⇒ =
°
x x
x
sen
h h
h
No ADC, temos:
tg 4
∆
==
h
y
⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = +( )
1
3
3
1 3
y
h
a x y a m
PV3N-11-21
39Matemática 813 39
Na figura, qual é a medida do lado a do triângulo ABC?2. 
60º
A
B
a
C
2 m
45º
1 3−( )ma) 
3 mb) 
1 3+( )mc) 
1 2 3+( )md) 
2 3 me) 
Exercícios Propostos
Em cada triângulo retângulo abaixo, determine o seno, 3. 
o cosseno e a tangente dos ângulos a indicados.
8
2
a) 
2
4
b) 
5
8
c) 
Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo 4. 
medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ân-
gulo oposto ao menor lado é:
2 3a) 
3
3
b) 
3
6
c) 
20
20
d) 
3 3e) 
Nos triângulos retângulos apresentados nos itens a se-5. 
guir, são fornecidos um ângulo interno e a medida de um de 
seus lados. Determinar as medidas indicadas pelas letras.
x
10 cm
60º
a) 
40
40
45º
y2 cm
b) 
30º
3 cm
z
c) 
O triângulo HMN é retângulo. Sabendo-se que m + n = 14 6. 
e que tg a = 4
3
, o valor correto para a hipotenusa h é: 
H
mh
n
N
M
28º
Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio 9. 
avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele 
mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume, como in-
dicado na figura. Depois de navegar mais 2 km em direção à 
montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ân-
gulo de 45°. Então, usando 3 1 73≅ , , o valor que mais se 
aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros, é:
30º
2 km
45º
3a) 
2b) 
sen c) a
5 2d) 
10e) 
No quadrilátero a seguir, AB = BC = 3 cm, AD = 2 cm, 7. 
DC B DAB e CDA  = ° = ° = °60 90 90, .
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: 
C
B
AD
11,5a) 
12,5b) 
13,5c) 
14,5d) 
15,5e) 
Um poste localiza-se numa rampa plana que forma 8. 
um ângulo de 28° com o plano horizontal (conforme fi-
gura). Num instante em que os raios solares são per-
pendiculares à rampa, o poste projeta sobre essa rampa 
uma sombra de 2,3 m de comprimento. Calcule a altura 
do poste. 
(Dados: sen 28° = 0,46, cos 28° = 0,88 e tg 28° = 0,53)
2,1a) 
2,2b) 
2,5c) 
2,7d) 
3,0e) 
A figura mostra um poste, cravado verticalmente no 10. 
solo e sustentado por dois cabos, que formam com a hori-
zontal ângulos a e β. Se os pontos de fixação dos cabos ao 
terreno, alinhados com a base do poste, distam uma medida 
d, a altura do poste pode ser calculada por:
d sen a) a sen β
d cos cos
cos cos
a β
a β+
b) 
d tg c) a tg β
d tg tg
tg tg
a β
a β
+( )
d) 
d tg tg
tg tg
a β
a β+
e) 
AB representa uma ponte que se abre para cima, a partir 11. 
de seu centro, sendo as extremidades A e B fixas e AB = 80 m. 
Quando a e β medirem 30° cada um, o vão entre C e D será de:
C D
A O B
30 ma) 
20 mb) 
80 30 3−( ) mc) 
80 40 3−( ) md) 
40 40 3−( ) me) 
PV3N-11-21
41Matemática 813 41
Módulo 2· Trigonometria – Identidades fundamentais
Introdução
As definições de razões trigonométricas nos permitem 
obter algumas relações entre elas a partir do triângulo re-
tângulo:
a
c
b
sen
b
a
tg
b
c
a
c
c
a
c
b
a
b
a a a
a a a
= = =
= = =
sec
cotg coseccos
Relações fundamentais1. 
Consideremos a relação de Pitágoras
b2 + c2 = a2 (dividindo por a2) ⇒
⇒ b
a
c
a
a
a
2
2
2
2
2
2
+ =
I. sen2 a + cos2 a = 1
Auxiliares:
sen2 a = 1 – cos2 a
cos2 a = 1 – sen2 a
tg
b
c
b
a
c
a
sen
e
c
b
c
a
b
a
sen
a a
a
a a
a
= = = = = =
cos
cos
cotg
II. tg
sena a
a
=
cos
Resumo2. 
sen2 a = cos2 a = 1 sec2 x = 1 + tg2 a
tg
sena a
a
=
cos
cosec2 a = 1 + cotg2 a
cotg
sen
a a
a
= cos
sec
cos
a
a
= 1
cosec a
a
= 1
sen
Exemplos
Sendo a) x a medida de um ângulo agudo, calcular sec x, 
sabendo que sen x = 3
5
.
sec x = 5
4
Resposta: 
sen x x
x
x x
2 2
2
2
2
1
3
5
1
1
9
25
25 9
25
16
25
+ =




+ =
= − = − = ⇒
cos
cos
cos cos ==
= ⇒ =
4
5
1 5
4
sec
cos
secx
x
x
Sendo b) x a medida de um ângulo agudo, calcular cos x, 
sabendo que cotg x = 
4
3
.
cos x = 4
5
Resposta: 
tg x x
tg x
tgx
x tg x
·
·
sec
cotg = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
⇒ = + = + 

 = +
1
4
3
1
3
4
1 1
3
41
92 2
2
116
25
16
5
4
1
5
4
1 4
5
= ⇒
⇒ =
= ⇒
⇒ = ⇒ =
sec
sec
cos
cos
cos
x
x
x
x
III. cotg
sen
a a
a
= cos
Auxiliar:
tg a · cotg a = 1
sec
cos
a
a
a
a
= = = = = =a
c
a
a
c
a
e
a
b
a
a
b
a
sen
1 1
cosec
IV. sec
cos
a
a
= 1
V. cosec a
a
= 1
sen
Auxiliares
sec2 a = 1 + tg2 a
cosec2 a = 1 + cotg2 a
DResposta: 
sec x + tg x
cos x + cotg x
1 s
=
+
+
=
+
1
cos cos
cos
cos
x
senx
x
x
x
senx
een
senx cos x + cosx
sen x
x
x
senx
x
senx
x senx
cos
cos
•
cos
=
=
+( )
+
1
1(( ) =
= =senx
x x
tgx x
cos
•
cos
• sec
1
CResposta: 
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
+
⋅
− =
= +
⋅
− =
= +
1
cos x cosec x2 2
sec
cos
sec
x
x
sen x
x
sen x
ccos
sec sec
sec sec
2
2 2 2
2 2
1
0
x
x tg x x
x x
− = + − =
= − =
42
42
Exercícios de Aplicação
A expressão mais simples para2. 
1 +
⋅




1
cos x cosec x2 2
 –sec2 x é:
Para todo real x, tal que 0 < x < 1. p
2
, a expressão
sec x + tg x
cos x + cotg x
 é equivalente a: 
(sen x) · (cotg x)a) 
(sec x) · (cotg x)b) 
(cos x) · (tg x)c) 
(sec x) · (tg x)d) 
(sen x) · (tg x)e) 
1 a) 
–1b) 
0c) 
tg xd) 
sece) 2x
Exercícios Propostos
Sendo tg x = 3. 
1
3
, calcule o valor da expressão
y = 
cosecx senx
x x
−
−sec cos
.
Dada a matriz A = (a4. ij)2 × 2, tal que a
x se i j
se i jij
=
=
≠



cos ,
,
,
1
 
o determinante da matriz A é sempre igual a: 
−3
4
a) 
1b) 
3
4
c) 
4
3
d) 
−4
3
e) 2 sena) 2x
cos xb) 
sen xc) 
–cosd) 2x
–sene) 2x
Se tg x = 5. 5, então sen2 x é igual a: 
1
6
a) 
1
5
b) 
3
4
c) 
3
5
d) 
5
6
e) 
Assinale a alternativa que indica o valor da expressão 6. 
y
x x
x tgx
= −
+
sec
cos
cotg , sabendo que sen x = 
3
4
.
Seja x um número real pertencente ao intervalo 7. 0
2
,
p



. 
Se sec x = 
3
2
, então tg x é igual a:
2
3
a) 
2
3
b) 
1
2
c) 
5
2
d) 
3
2
e) 
PV3N-11-21
43Matemática 813 43
Observando o triângulo da figura, podemos afirmar que 8. 
cos a a
a
−
−
sen
tg1 vale: 
1
5
1
5
a) 
1
25
b) 
5
5
c) 
2
5
d) 
2 5
5
e) 
O valor de 9. 
cos
cos
a sena
sena a
− 0
0
0 0 2
 é:
4 (cos a + sen a)a) 
4b) 
2 (cosc) 2 a – sen a)
2d) 
0e) 
44
44
Módulo 3· Trigonometria – Equações e 
inequações na 1a volta
Intrdução
Vamos, agora, ampliar o nosso universo de medidas de 
ângulos. Já estudamos as razões trigonométricas aplicadas 
a ângulos agudos de um triângulo retângulo. Agora, vamos 
conhecer os ângulos medidos numa circunferência, isto é, 
de 0° a 360°.
Ciclo trigonométrico1. 
Consideremos uma circunferência de centro O e raio 1. I. 
Nela podemos marcar arcos e ângulos (consideraremos como 
positivo o sentido anti-horário).
O
70º
0º
Origem dos
arcos
225º
1
2
3

3
3

Consideremos um sistema de coordenadas carte sianas II. 
Oxy. Nele podemos representar cada ponto do plano por 
suas coordenadas.
3
y
x2O
P (2, 3)
Chama-se ciclo trigonométrico o sistema acoplado de III. 
I e II, isto é, quando fixamos o sistema de coordenadas car-
tesianas no centro da circunferência de raio 1.
1
1 x
y
–1
–1
O
Note que, neste sistema, cada ponto da circunferência 
está associado a um arco ou ângulo e também está definido 
por suas coordenadas.
1
90º
270º
–1
1 0º 0
360º180º
–1
1o quadrante2o quadrante
4o quadrante3o quadrante
3
2

2

y
x
Exemplo – Identifique a que quadrante pertencem os 
arcos de medidas abaixo:
220°a) 
130°b) 
45°c) 
350°d) 
4
5
p
e) 
4
3
p
f) 
23
12
p
g) 
p
3
h) 
Resolução
180° < 220° < 270° (3º Q)a) 
90° < 130° < 180° (2º Q)b) 
0° < 45° < 90° (1º Q)c) 
270° < 350° < 360° (4º Q)d) 
p p p
2
4
5
< <e) (2º Q)
p p p< <4
3
3
2
f) (3º Q)
3
2
23
12
2
p p p< <g) (4º Q)
0
3 2
< <p ph) (1º Q)
PV3N-11-21
45Matemática 813 45
Seno, cosseno e tangente 2. 
no ciclo trigonométrico
Seja a um arco de extremidade M no ciclo trigono-
métrico.
M
x
y
O
Senoa) 
MB
x
y
O
sen
Justificativa – No triângulo OMB, temos:
90º – 
Raio = 1
O
M
B
Como sen
OB
OM
OB
OBa = = =
1
, temos que:
sen a é a ordenada de M.
O eixo Oy é chamado de eixo dos senos.
Cossenob) 
M
A x
y
O
cos
Justificativa – No triângulo OMA, temos:
Raio = 1
O
M
A
Como cos x OA
OM
OA
OA= =
1
, temos que:
cos a é a abscissa de M.
O eixo Ox é chamado de eixo dos cossenos.
Tangentec) 
Associamos ao ciclo trigonométrico mais um eixo, a 
reta t, que tangencia a circunferência em (1, 0), que é tam-
bém a origem de t.
M
Q
P
t
x
y
O
tg
tg x
Justificativa – No triângulo OPQ, temos:
O
P Q
Raio = 1
tg
PQ
OP
PQ
PQa = = =
1
Propriedades3. 
Sinala) 
xO O Ox x
ty y y
Seno Cosseno Tangente
46
46
Tabelab) 
Seno
1
–1
y
O
0
x
3
2

2

3

4

6

3
2
2
2
1
2
Cosseno
y
O
1 0
x
–1
3
2

2

3

4

6

3
2
2
2
1
2
Tangente
Tg x
y
O
0
1
x
3
2

2

3

4

6

3
3
3
a Seno Cosseno Tangente
0° 0 0 1 0
30°
p
6
1
2
3
2
3
3
45°
p
4
2
2
2
2
1
60°
p
3
3
2
1
2
3
90°
p
2
1 0 ∃
180° p 0 –1 0
270°
3
2
p
–1 0 ∃
360° 2p 0 1 0
Observamos que:
–1 ≤ sen a ≤ 1 e –1 ≤ cos a ≤ 1 
Exercícios Resolvidos
Simplifique a expressão (a 1. ≠ ± b):
A
a ab sen b a b tg
a sen b a tg
=
+ + −
+ +
2 2 2 2
2 2
2 2
3
2
2
2
2
cos cos
cos
p p p p
p p p
AResposta: 
a b
a b
−
+
Como sen tg sen
e tg temos
A
cos ; ; ; ;
cos , :
2 1
3
2
1 0
2
1
1 2 0
p p p p
p p
= = − = =
= − =
== + −( )+ −
+ −( )+ =
= − +
−
a ab b a b
a b a
a ab b
a b
2 2 2 2
2 2
2 2
2
1 2 1 1 0
1 1 0
2
· · · ·
· · ·
22
2
= −( )
+( ) −( ) =
−
+
a b
a b a b
a b
a b
PV3N-11-21
47Matemática 813 47
Determinar k para que a igualdade cos x = 3k – 2 seja 2. 
possível.
Resposta: 
Para que a igualdade seja possível, é preciso que 
1
3
1≤ ≤k .
Como cos x ∈ [–1, 1], temos:
–1 ≤ 3k –2 ≤ 1
– 1 + 2 ≤ 3k ≤ 1 + 2
1 ≤ 3k ≤ 3
1
3
3
3
1
3
1
≤ ≤
≤ ≤
k
k
Dê o sinal das expressões:3. 
A = tg x · cos x, para a) 
p
2
 < x < p
B = tg x · sen x, para b) 
p
2
 < x < p
C = tg x · cos x, para c) 
3
2
p
 < x < 2p
D = tg x · sen x, para d) p < x < 3
2
p
Resposta: 
Redução ao 14. o quadrante
Por meio da simetria de arcos, vamos estudar a redução 
ao 1o quadrante.
2a) o quadrante para o 1o quadrante
sen
cos
tg
O
 
sen (p – a) = sen a
cos (p – a) = – cos a
tg (p – a) = – tg a
Exemplo – Calcular sen 120°, cos 120° e tg 120°.
Como 120° = 180° – 60°, o correspondente no 1o qua-
drante é 60°. Assim:
sen 120° = sen 60° = 
3
2
cos 120° = –cos 60° = − 1
2
tg 120° = –tg 60° = − 3
3b) o quadrante para o 1o quadrante
sen
cos
tg
O
 
sen (p + a) = –sen a
cos (p + a) = –cos a
tg (p + a) = tg a
Exemplo – Calcular sen e tg
5
4
5
4
5
4
p p p
, cos .
Como
5
4 4
p p p= + , o correspondente no 1o quadrante é 
p
4
. Assim:
O x
tg
y
2
a) 
tg x < 0 e cos x < 0
Logo, A > 0
Ox
tg
y
2
b) 
tg x < 0 e sen x > 0
Logo, B < 0
O
x
tg
y
3
2

c) 
tg x < 0 e cos x > 0
Logo, C < 0
O x
tg
y
3
2

d) 
tg x > 0 e sen x < 0
Logo, D < 0
48
48
sen sen
tg tg
5
4 4
2
2
5
4 4
2
2
5
4 4
1
p p
p p
p p
= − = −
= − = −
= =
cos cos
4c) o quadrante para o 1o quadrante
sen
cos
tg
O
sen (2p – a) = –sen a
cos (2p – a) = cos a
tg (2p – a) = –tg a
Exemplo – Calcular sen 330°, cos 330° e tg 330°.
Como 330° = 360° – 30°, o correspondente no 1o qua-
drante é 30°. Assim:
sen 330° = –sen 30° = –
1
2
cos 330° = cos 30° = 
3
2
tg 330° = –tg 30° = − 3
3
Equações e inequações 5. 
trigonométricas na 1a volta
Utilizando o ciclo trigonométrico e as reduções ao 1º 
quadrante, podemos resolver equações e inequações trigo-
nométricas na 1a volta do ciclo trigonométrico. 
Exercícios Resolvidos
Se 0 4. ≤ x < 2p, resolver:
sen x = 1a) 
sen x = b) − 1
2
sen x > c) − 2
2
Resposta: 
O
1
–1
x
tg x
sen x
2

 
 
 
V
2

a) 
O
x
sen x
6
1–
2
1
2
b) 
Sabemos que sen 
p
6
1
2
= , portanto os arcos que têm 
seno igual a −
1
2
 são p + p p
6
7
6
= e 2
6
11
6
p p p− = .
V = 

7
6
11
6
p p
;
O x
sen x
42
3
2
2
c) 
Partindo da igualdade, sabemos que sen
p
4
2
2
= e tam-
bém que p p p− =
4
3
4
 e sen
3
4
2
2
p = . Analisando o ciclo 
acima, temos: 
V x x= ∈ < <





p p
4
3
4
Se 0 5. ≤ x < 2p, resolver:
cos x = –1a) 
cos x = b) − 2
2
cos x c) ≥ − 1
2
Resposta: 
O
cos x–1
  V  
a) 
PV3N-11-21
49Matemática 813 49
O
cos x
4

2
2
b) 
Sabemos que cos
p
4
2
2
= , então, como a outra solução 
está no 4º quadrante, ela deverá ser: 2
4
7
4
p p p− =
V = 

p p
4
7
4
;
O
cos x
3

3
2
3
4
1–
2
1
2
c) 
Vamos, inicialmente, verificar a igualdade. Sabemos 
que cos ,
p
3
1
2
= , assim, os arcos em que o cosseno é −
1
2
 
são, respectivamente, p p p p p p− = + =
3
2
3 3
4
3
e .
O
cos x
3

3
2
2
0
3
4
1–
2
Analisando o ciclo acima, concluímos que:
V x x ou x= ∈ ≤ ≤ ≤ <

 0
2
3
4
3
2
p p p
Resolver para 0 6. ≤ x < 2p:
tg x = 0a) 
tg x b) = − 3
tg x c) ≥ 1
Resposta: 
O 0
tg x
 V 0 ; 
a) 
O
3

3
2
3
5
tg x
3
b) 
Sabemos que tg
p
3
3= . Portanto, os arcos cuja tan-
gente é − 3 estão no 2o e 4o quadrantes; são eles: 
p p p p p p− = + =
3
2
3
2
3
5
3
e .
 
V = 

2
3
5
3
p p
;
O 4

2

2
3
4
5
tg x
1
c) 
Partindo da igualdade, temos que tg
p
4
1= e que 
p p p p+ = =
4
5
4
5
4
1; tg . Analisando o ciclo acima, temos:
V x x ou x= ∈ ≤ ≤ ≤ <





p p p p
4 2
5
4
3
2
Sabendo que 0 7. ≤ θ ≤ p, determinar θ tal que
sen θ + cos θ = 0.
Resposta: 
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação 
apresentada, teremos:
(sen θ + cos θ)2 = 02
sen2θ + 2 sen θ · cos θ + cos2θ = 0
Uma vez que sen2θ + cos2θ = 1 e sabendo que sen 2θ = 
= 2 sen θ · cos θ, podemos dizer que:
1 + sen 2θ = 0 ⇒ sen 2θ = –1
2
3
sen x
–1
Resposta: 
E = −( ) + −( )
+
= −1 1 1
0 0 1
2
·
·
50
50
Como 0 ≤ θ ≤ p, temos que 0 ≤ 2θ ≤ 2p. Na primeira volta 
do ciclo trigonométrico, obtemos:
2
3
2
3
4
θ p θ p= ⇒ =
Considerando 0° 8. ≤ x < 360°, determinar o conjunto-
solução da equação:
cos (x + 90°) = − 1
2
Resposta: 
De acordo com o ciclo trigonométrico ilustrado ante-
riormente, temos que:
x
ou
x
x
ou
x
Logo S
+ ° = °
+ ° = °




⇒
= °
= °




= °
90 120
90 240
30
150
30 1, , 550°{ }
Para valores de x tais que 0 9. ≤ x < p, calcular a soma das 
raízes da equação |tg 2x| = 1.
Resposta: 
Multiplicando por 2 o intervalo de validade para os ar-
cos x, temos:
0 ≤ x < p ⇒ 0 ≤ 2x < 2p
Da equação fornecida no enunciado, temos:
tg x
tg x
ou
tg x
2 1
2 1
2 1
= ⇒
=
= −




Do ciclo trigonométrico, observamos que:
4

4
3
4
5
4
7
tg x
1
–1
2
4
2
3
4
2
5
4
2
7
4
8
3
8
x ou
x ou
x ou
x
x ou
x ou
x
=
=
=
=












⇒
=
=
=
p
p
p
p
p
p
55
8
7
8
p
p
ou
x =












Logo, a soma das raízes encontradas é:
S
S
= + + + =
=
p p p p p
p
8
3
8
5
8
7
8
16
8
2
Resolver a inequação 2 cos x – 1 > 0 para 0 10. ≤ x < 2p.
Resposta: 
cos x
3

3
5
1cos x
2
1
2
Do ciclo trigonométrico, obtemos este conjunto solução:
S x x ou x= ∈ ≤ ≤ < ≤




 0
3
5
3
2
p p p
Exercícios de Aplicação
Calcular o valor da expressão:1. 
E
sen sen
tg
= ° ° + °
° ° + °
90 180 270
180 270 0
· cos
· cos cos
Resposta: 
sen 120° = sen 60° = a) 
3
2
cos 135° = – cos 45° = –b) 2
2
tg 135° = – tg 45° = – 1c) 
Resposta: 
sen x = a) 2
2
3
4
4
2
2
 
S = 

p p
4
3
4
,
cos x = –b) 
3
2
5
6
7
6
3
2 
S = 

5
6
7
6
p p
,
tg x = c) − 3
– 3
2
3
5
3
 
S = 

2
3
5
3
p p
,
PV3N-11-21
51Matemática 813 51
Calcule o valor de:2. 
sen 120°a) 
cos 135°b) 
tg 135°c) 
Resolver as equações para 0 3. ≤ x ≤ 2p.
sen x = a) 
2
2
cos x = b) − 3
2
tg x = c) − 3
Exercícios Propostos
Se 0 4. ≤ x ≤ 2p, a afirmação falsa é:
se sen x > 0 e cos x > 0, então 0 < x < a) 
p
2
.
se tg x > 0 e cos x < 0, então b) p < x < 3
2
p
..
se sen x < 0 e cos x < 0, então c) p < x < 3
2
p
..
se cos x > 0 e tg x < 0, então d) 3
2
p
. < x < 2p.
se cos x < 0 e tg x < 0, então e) p < x < 3
2
p
..
Calcule o valor da expressão:5. 
E
sen sen sen
tg
= ° ° + °
° ° + °
90 270 180
180 180 0
·
cos · cos
Para quais valores de p a equação sen x = 2p + 1 possui 6. 
solução? 
Considere os ângulos 7. a, β e γ conforme representados 
no círculo.
0
y
1
Pode-se afirmar que:
cos a) a < cos β
cos b) γ > cos a
sen c) a > sen β
sen d) β < cos γ
cos e) β < cos γ
– 1 a) ≤ p ≤ 0
0 b) ≤ p ≤ 1
– 1 c) ≤ p ≤ 1
p d) ≤ 0
p e) ≥ – 1
52
52
No círculo trigonométrico, um ângulo é tal que seu seno 8. 
vale 
3
5
 e encontra-se no segundo quadrante. A tangente 
desse ângulo vale:
− 3
4
a) 
− 4
3
b) 
– 1c) 
3
4
d) 
4
3
e) 
Complete a tabela, baseando-se no ciclo trigonométrico.9. 
a seno cosseno tangente
30°
p
6
45°
p
4
60°
p
3
120°
135°
150°
210°
225°
240°
300°
315°
330°
Considerando 0 10. ≤ x ≤ 3
2
p
, determinar a soma das raízes 
da equação sen2 x = 
1
4
.
A soma das raízes da equação cos x + cos11. 2x = 0; 0 ≤ x ≤ 2p, 
em radianos é: 
pa) 
2b) p
3c) p
4d) p
5e) p
Para 0 < x < 212. p, a soma das raízes da equação
sec2x = tg x + 1 é igual a: 
5
2
p
a) 
7
2
p
b) 
9
2
p
c) 
2d) p
4e) p
A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, uma cir-13. 
cunferência centrada na origem, de raio igual a 1, passando 
pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C e D são 
colineares, os segmentos de retas AC e BD são paralelos ao 
eixo y e θ é o ângulo que o segmento de reta OD faz com 
o eixo x.
Com respeito a essa figura, é correto afirmar que:
xO A B
y
C
D
OA = sen a) θ
OC = cos b) θ
BD
ACOA
=c) 
AC
BD
OD
OB
=d) 
OBe) 2 + BD2 = 1
Das igualdades:14. 
sen 1. 
p
6
 = –sen 
5
6
p
cos 2. 
p
6
 = –cos 
5
6
p
tg 3. 
p
6 = tg 
7
6
p
cosec 4. 
p
6
 = cosec 
5
6
p
podemos dizer que:
nenhuma delas é correta. a) 
apenas uma delas é correta. b) 
apenas duas delas são corretas. c) 
apenas três delas são corretas. d) 
todas são corretas.e) 
PV3N-11-21
53Matemática 813 53
Módulo 4· Trigonometria: Arcos trigonomé-
tricos – adição de arcos – arco duplo
Assim:
cos (a + b) = cos [a – (–b)] = cos a cos (–b) + sen a sen (–b) =
cos a cos b – sen a sen b
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
sen a b a b e a b−( ) = − −( )



−



+



−
cos cos cos
cos
p a p
p
2 2
2
aa b sen a sen b



− −



=cos p
2
sen a cos b – cos a sen b
sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a
sen (a + b) = sen [a – (–b)] = sen a cos (–b) – sen (–b) cos a
= sen a cos b + sen b cos a
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
tg a+b( ) = +( )+( ) =
+
−
sen a b
a b
sena b sen a
a b sena sencos
cos cos
cos cos
b
bb
tg a b
sena b
a b
sen b a
a b
a b
a
⇒ +( ) =
+cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos coss cos cos
cos cos
cos
b
sena sen b
a b
tg a b
sena
a
sen b
b
sena
a
s
+
⇒ +( ) =
+
− ⋅1 een b
b
tga tg b
tga tg b
tg a b
tga tg b
tga tg b
cos
= +
−
⇒ +( ) = +−
1
1
e de modo análago, obtém-se:
⇒ −( ) = −+tg a b
tga tg b
tga tg b1
Fórmulas de arco duplo3. 
São as fórmulas de sen (2a); cos (2a) e tg (2a); basta 
fazer b = a nas fórmulas de adição.
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a
sen (2a) = 2 sen a cos a
cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a
cos (2a) = cos2a – sen2a
Neste caso, utilizando a relação fundamental, 
sen2 a + cos2 a = 1, o cosseno do arco duplo pode ainda ser 
apresentado de duas outras formas:
Introdução
Vamos agora estabelecer fórmulas que nos permitam 
calcular as razões trigonométricas aplicadas à soma ou à 
diferença de arcos.
Cosseno de (a — b) (justificativa)1. 
y
x
sen a
sen a – sen b
cos b – cos a
A
BM
a b
A
B
M
sen b
co
s 
a
co
s 
b
Aplicando Pitágoras, temos:
AB2 = (sen a – sen b)2 + (cos b – cos a)2
AB2 = sen2 a + cos2 a + sen2 b + cos2 a – 2 cos a cos b – 2 
sen a sen b
(1) AB2 = 2 – 2 (cos a cos b + sen a sen b)
Consideremos no triângulo AOB, a lei dos cossenos:
O Braio = 1
A
1
a – b
AB2 = 12 + 12 – 2 · 1 · 1 · cos (a – b)
e substituindo (1), temos:
2 – 2 cos(a – b) = 2 – 2 (cos a cos b + sen a sen b)
ou ainda:
cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
Outras fórmulas2. 
sen (– a) = sen (2p – a) = – sen a
cos (– a) = cos (2p – a) = cos a
sen e
p a a p a a
2 2
−



= −



=cos cos cos
54
54
cos (2a) = cos2 a – sen2 a = cos2 a – (1 – cos2 a) =
cos2 a – 1 + cos2 a =
cos (2a) = 2 cos2 a – 1
cos (2a) = cos2 a – sen2 a = (1 – sen2 a) – sen2 a =
1 – sen2 a – sen2 a
cos (2a) = 1 – 2 sen2 a
tg a b
tga tg b
tga tg b
tg a a
tga tga
tga tga
tga
tg a
t
+( ) = +−
+( ) = +− = −
1
1
2
1 2
gg a
tga
tg a
2
2
1 2
( ) = −
Resumo4. 
sen (a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
cos (a ± b) = cos a cos b  sen a sen b
tg a b
tga tgb
tga tgb
+( ) = ±
1 
sen (2a) = 2 sen a cos a
cos (2a) = cos2 a – sen2 a
cos (2a) = 1 – 2 sen2 a
cos (2a) = 2 cos2 a – 1
Exercícios Resolvidos
Calcular o valor de sen 75º.1. 
Resposta: 
sen 75º = sen (45º + 30º)
sen 75º = sen 45º · cos 30º + sen 30º · cos 45º
sen
sen
sen
75
2
2
3
2
1
2
2
2
75
6
4
2
4
75
6 2
4
° = +
° = +
° = +
· ·
Sendo x e y ângulos agudos e sabendo-se que sen x =2. 
3
4
e cos y = 
1
4
, calcular sen (x + y).
Resposta: 
sen2 x + cos2 x = 1
cos
cos
2
2
1
3
4
1
3
16
13
16
x
Como x gud
sen y
= −





 = − =
+
é á o:
cos x=
13
4
22
2
2
1
1
1
4
1
1
16
15
16
4
y
sen y
Como y agud
=
= − 



= − =
é o:
sen y=
15
sen x y senx y sen y x
sen x y
sen x y
+( ) = +
+( ) = +
+( )
· cos · cos
· ·
3
4
1
4
15
4
13
4
== +( )3
16
1 65·
Calcule o valor de cos 15°.3. 
Resposta: 
cos 15° = cos (45° – 30°)
cos 15° = cos 45° · cos 30º + sen 45° · sen 30°
cos
cos
cos
15
2
2
3
2
2
2
1
2
15
6
4
2
4
15
6 2
4
° = ⋅ + ⋅
° = ⋅
° = +
Calcule o valor da expressão:4. 
E = cos 54° · cos 24° + sen 54° · sen 24°
Resposta: 
Sabemos que:
cos a · cos b + sen a · sen b = cos (a – b)
Fazendo a = 54º e b = 24º, temos:
E = cos (54° – 24°)
E = cos 30° ⇒ E = 3
2
Resposta: 
sen15° = sen (45° – 30°)a) 
 sen 15° = sen 45° · cos 30° – sen 30° cos 45°
 
sen
sen
15
2
2
3
2
1
2
2
2
15
6 2
4
° = −
° = −
· ·
CResposta: 
sen2x = 1 – cos2x
sen2x = 1 – (0,8)2
sen2x = 0,36
Como p
2
, então sen x = 0,6
sen 2x = 2sen x cos x = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96
BResposta: 
sen x + (1 – 2 sen2 x) = 1
2 sen2 x – sen x = 0
sen x (2 sen x – 1) = 0
sen x = 0 ou 2 sen x = 
1
2
sen x
0
5
6
6
1
2
1
2sen x =
S = {0, p/6, 5p/6, p}
PV3N-11-21
55Matemática 813 55
Calcule o valor de tg 105°.5. 
Resposta: 
tg 105° = tg (60° + 45°)
tg
tg tg
tg tg
tg
105
60 45
1 60 45
3 1
1 3 1
3 1
1 3
105 2
° = ° + °
− ° °
= +
−
= +
−
⇒
⇒ ° = −
· ·
++( )3
Sabendo que tg a = 3 e tg b = 2, calcule cotg (a – b).6. 
Resposta: 
tg a b
tga tg b
tga tg b
tg a b
cotg a b
tg a
−( ) = −+
−( ) = −+ =
−( ) = −
1
3 2
1 3 2
1
7
1
·
·
bb
cotg a b
( )
−( ) = 7
Sendo 7. 
p
2
 < θ < p e sen θ = 0,6, determinar os valores de 
sen 2 θ, cos 2 θ e tg 2 θ.
Resposta: 
sen2θ + cos2θ = 1 ⇒ (0,6)2 + cos2θ = 1 ⇒ 
⇒ cos2θ = 1 – 0,36 = 0,64 ⇒ cos θ = ± 0 64,
∴ cos θ = –0,8
tg
sen
tgθ θ
θ
θ= = = − ⇒ = −
cos
,
,
,
0 6
0 8
6
8
0 75
sen (2θ) = 2 sen θ cos θ ⇒ sen (2θ) = 2 · 0,6 · (–0,8 )
 ⇒ sen (2θ) = – 0,96
cos (2θ) = cos2θ – sen2θ ⇒ 
cos (2θ) = (0,8)2 – (0,6)2 = 0,64 – 0,36 ⇒
cos (2θ) = 0,28
tg
tg
tg
tg2
2
1
2
2 0 75
1 0 75
1 50
0 4375
3 428
2 2
θ θ
θ
θ=
−
⇒ ( ) = −( )
− ( )
=
− =
,
,
,
,
, 55 2 3 43⇒ ( ) =tg θ ,
Exercícios de Aplicação
Calcule: sen 15°1. 
Se cos x = 0,8 e 0 < x < 2. 
p
2
, então o valor de sen 2x é:
O número de raízes da equação sen x + cos(2x) = 1 no 3. 
intervalo [0, p] é
0,6a) 
0,8b) 
0,96c) 
0,36d) 
0,49e) 
2a) 
4b) 
5c) 
6d) 
8e) 
56
56
Exercícios Propostos
A expressão sen (150° + x) + sen (150° – x) é equiva-4. 
lente a:
sa) en a + sen a
2




sen b) a + 2 sen (2a)
cos c) a + cos 2a
2 sen d) a + sen (2a)
2 cose) a + sen (2a)
Calcular tg (a + b), a partir desta figura:9. 
b
3 5
6
a
Se sen(x + 10. p) = cos (p –x), então x pode ser: 
cos xa) 
–sen xb) 
sen c) p
2
sed) n x
cos e) 
5
6
p
Calcular:5. 
y = sen (123° + a) – sen (57° – a)
Se sen x = 6. 
4
5
 e tg x < 0, então tg 2x vale:
24
7a) 
−24
7
b) 
−8
3
c) 
8
3
d) 
−4
3
e) 
No triângulo da figura a seguir, cos 27. θ vale:
1
2
3
2
9
a) 
1
9
b) 
− 7
9
c) 
− 8
9
d) 
5
9
e) 
Na figura a seguir:8. 
A D
C
2
2
B
Se AC = DB = 2 e a é a medida do ângulo BAC,
em que 0 < a < p
2
, então a área do triângulo ABC,
em funçãode a, é:
pa) 
p
2
b) 
3
4
p
c) 
5
4
p
d) 
7
4
p
e) 
Se x é um ângulo agudo e 11. 
2
3
 calcular:
sen (2x)a) 
cos (2x)b) 
sen (4x)c) 
Na figura a seguir, o triângulo ABD é reto em B, e 12. AC é a 
bissetriz de BÂD. Se AB=2·BC, fazendo BC=b e CD=d, então:
C
D
BA
d = ba) 
d b= 



5
2
b) 
d b= 



5
3
c) 
d b= 



6
5
d) 
d b= 



5
4
e)