Grátis: Determine a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\). A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\) B) \tan^{-1}(x) + C C) \(\frac{1}{2} \ln|x^3 + 1| + C\)...

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Determine a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\).

A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\)
B) \tan^{-1}(x) + C
C) \(\frac{1}{2} \ln|x^3 + 1| + C\)
D) \(\frac{1}{x^2} + C\)

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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx\), podemos usar a fatoração do denominador. O polinômio \(x^3 + 1\) pode ser fatorado como \((x + 1)(x^2 - x + 1)\). A integral pode ser resolvida utilizando a técnica de frações parciais. Após a decomposição, a integral se torna mais simples e pode ser resolvida. Após realizar os cálculos, a integral resulta em: \[ \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + 1| + C\)

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Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \).

A) \( \frac{1}{5} \)
B) 0
C) \( \frac{1}{6} \)
D) \( \frac{1}{10} \)

Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \).

a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)
b) \( \frac{3}{x^3 + 1} \)
c) \( \frac{1}{x^3 + 1} \)
d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \)

Resolva a equação diferencial \(y' = y^3\).

A) \(y = \frac{1}{C - x}\)
B) \(y = C e^{x}\)
C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\)
D) \(y = C + x\)

Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\).

A) 5
B) 1
C) 0
D) Não existe

Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^2 - 3x + 1) \, dx\).

A) \(\frac{1}{3}\)
B) \(\frac{5}{12}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{2}{3}\)

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 2}{5x^2 + 1}\).

A) \(\frac{6}{5}\)
B) 0
C) 1
D) \(\frac{2}{5}\)

Problema 53: Resolva a equação y' + y = e^{2x}.

A) y = Ce^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x}
B) y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{2x}
C) y = Ce^{x} + \frac{1}{3}e^{2x}
D) y = Ce^{x} - \frac{1}{2}e^{2x}

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Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \).

A) \( \frac{1}{5} \)
B) 0
C) \( \frac{1}{6} \)
D) \( \frac{1}{10} \)

Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \).

a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)
b) \( \frac{3}{x^3 + 1} \)
c) \( \frac{1}{x^3 + 1} \)
d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \)

Resolva a equação diferencial \(y' = y^3\).

A) \(y = \frac{1}{C - x}\)
B) \(y = C e^{x}\)
C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\)
D) \(y = C + x\)

Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\).

A) 5
B) 1
C) 0
D) Não existe

Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^2 - 3x + 1) \, dx\).

A) \(\frac{1}{3}\)
B) \(\frac{5}{12}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{2}{3}\)

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 2}{5x^2 + 1}\).

A) \(\frac{6}{5}\)
B) 0
C) 1
D) \(\frac{2}{5}\)

Problema 53: Resolva a equação y' + y = e^{2x}.

A) y = Ce^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x}
B) y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{2x}
C) y = Ce^{x} + \frac{1}{3}e^{2x}
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Calcule a integral \(\int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
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Determine a derivada da função \(f(x) = e^{x^2}\).

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Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \).a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)b) \( \frac{3}{x^3 + 1} \)c) \( \frac{1}{x^3 + 1} \)d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \)

Resolva a equação diferencial \(y' = y^3\).A) \(y = \frac{1}{C - x}\)B) \(y = C e^{x}\)C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\)D) \(y = C + x\)

Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\).A) 5B) 1C) 0D) Não existe

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Determine a derivada da função \(f(x) = e^{x^2}\).

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B) 0
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D) \( \frac{1}{10} \)

Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \).

a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)
b) \( \frac{3}{x^3 + 1} \)
c) \( \frac{1}{x^3 + 1} \)
d) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + 1} \)

Resolva a equação diferencial \(y' = y^3\).

A) \(y = \frac{1}{C - x}\)
B) \(y = C e^{x}\)
C) \(y = \frac{C}{1 - Cx}\)
D) \(y = C + x\)

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A) \(\frac{1}{3}\)
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D) \(\frac{2}{3}\)

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B) 0
C) 1
D) \(\frac{2}{5}\)

Problema 53: Resolva a equação y' + y = e^{2x}.

A) y = Ce^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x}
B) y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{2x}
C) y = Ce^{x} + \frac{1}{3}e^{2x}
D) y = Ce^{x} - \frac{1}{2}e^{2x}

Calcule a integral \(\int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{7}{15}\)
C) \(\frac{1}{3}\)
D) \(\frac{2}{15}\)