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Problema 15: Calcule a integral ∫ (1/(x^2 + 4)) dx.

A) (1/2) tan^{-1}(x/2) + C
B) tan^{-1}(x/2) + C
C) (1/4) tan^{-1}(x/2) + C
D) (1/2) ln(x^2 + 4) + C
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Desafios para Aprender

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ESTÁCIO

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há 10 meses

Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição que envolve a função arco-tangente. Sabemos que a integral da forma \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\) é dada por \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). No seu caso, temos \(a^2 = 4\), então \(a = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: A) \((1/2) \tan^{-1}(x/2) + C\) - Correto. B) \(\tan^{-1}(x/2) + C\) - Incorreto. C) \((1/4) \tan^{-1}(x/2) + C\) - Incorreto. D) \((1/2) \ln(x^2 + 4) + C\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: A) (1/2) tan^{-1}(x/2) + C.

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