Para calcular a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \sin(x)\), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = e^{2x}\) e \(u'(x) = 2e^{2x}\) (usando a regra da cadeia) - \(v(x) = \sin(x)\) e \(v'(x) = \cos(x)\) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2e^{2x}) \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \] Fatorando \(e^{2x}\): \[ f'(x) = e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \] Agora, analisando as alternativas: A) \(e^{2x}(\sin(x) + 2\cos(x))\) - Incorreta. B) \(2e^{2x}\sin(x)\) - Incorreta. C) \(e^{2x}(\sin(x) - 2\cos(x))\) - Incorreta. D) \(e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))\) - Correta. Portanto, a alternativa correta é: D) \(e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))\).