Para calcular a integral \(\int e^{x} \cos(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração por partes repetidamente. Vamos aplicar a integração por partes: 1. Seja \(u = \cos(x)\) e \(dv = e^{x} dx\). 2. Então, \(du = -\sin(x) dx\) e \(v = e^{x}\). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} \cos(x) - \int e^{x} (-\sin(x)) \, dx \] Isso se torna: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} \cos(x) + \int e^{x} \sin(x) \, dx \] Agora, precisamos calcular \(\int e^{x} \sin(x) \, dx\) da mesma forma: 1. Seja \(u = \sin(x)\) e \(dv = e^{x} dx\). 2. Então, \(du = \cos(x) dx\) e \(v = e^{x}\). Aplicando novamente a integração por partes: \[ \int e^{x} \sin(x) \, dx = e^{x} \sin(x) - \int e^{x} \cos(x) \, dx \] Agora, substituímos de volta na primeira integral: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} \cos(x) + \left( e^{x} \sin(x) - \int e^{x} \cos(x) \, dx \right) \] Reorganizando, temos: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx + \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} \cos(x) + e^{x} \sin(x) \] Portanto: \[ 2 \int e^{x} \cos(x) \, dx = e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) \] Dividindo ambos os lados por 2: \[ \int e^{x} \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \] Assim, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)