Problema 54: Calcule a integral \(\int \sec^2(x) \, dx\). A) \(\tan(x) + C\) B) \(\sec(x) + C\) C) \(\sin(x) + C\) D) \(\cos(x) + C\)

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Para calcular a integral \(\int \sec^2(x) \, dx\), precisamos lembrar que a derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\). Portanto, a integral de \(\sec^2(x)\) é: \[ \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C \] Analisando as alternativas: A) \(\tan(x) + C\) - Correto. B) \(\sec(x) + C\) - Incorreto. C) \(\sin(x) + C\) - Incorreto. D) \(\cos(x) + C\) - Incorreto. Assim, a alternativa correta é: A) \(\tan(x) + C\).

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Problema 49: Calcule a integral \(\int e^{x} \cos(x) \, dx\).

A) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C\)
C) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)
D) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)

Problema 50: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4}\).

A) -\frac{1}{12}
B) 0
C) -\frac{1}{6}
D) 1

Problema 51: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\).

A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
C) \(3\)
D) \(3x^2\)

Problema 52: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\).

A) -\frac{1}{2x^2} + C
B) -\frac{1}{3x^2} + C
C) -\frac{1}{x^2} + C
D) -\frac{1}{4x^2} + C

Problema 53: Resolva a equação \(y' + y = \sin(x)\).

A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\)
B) \(y = Ce^{-x} + \cos(x)\)
C) \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\)
D) \(y = Ce^{x} + \sin(x)\)

Cálculo

Problema 54: Calcule a integral \(\int \sec^2(x) \, dx\). A) \(\tan(x) + C\) B) \(\sec(x) + C\) C) \(\sin(x) + C\) D) \(\cos(x) + C\)

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A) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) - \cos(x)) + C\)
C) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)
D) \(\frac{1}{2} e^{x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\)

Problema 50: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4}\).

A) -\frac{1}{12}
B) 0
C) -\frac{1}{6}
D) 1

Problema 51: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\).

A) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
C) \(3\)
D) \(3x^2\)

Problema 52: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3} \, dx\).

A) -\frac{1}{2x^2} + C
B) -\frac{1}{3x^2} + C
C) -\frac{1}{x^2} + C
D) -\frac{1}{4x^2} + C

Problema 53: Resolva a equação \(y' + y = \sin(x)\).

A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\)
B) \(y = Ce^{-x} + \cos(x)\)
C) \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\)
D) \(y = Ce^{x} + \sin(x)\)

Problema 55: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\).

A) 1
B) 0
C) -1
D) Não existe

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B) -\frac{1}{3x^2} + C
C) -\frac{1}{x^2} + C
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A) \(y = Ce^{-x} + \sin(x) - \cos(x)\)
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C) \(y = Ce^{-x} + \sin(x)\)
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