Problema 15: Determine \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{4} \) d) \( \frac{1}{3} \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). - A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -x^3 \). - A antiderivada de \( 2 \) é \( 2x \). Portanto, a antiderivada de \( x^3 - 3x^2 + 2 \) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^3 + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{0^4}{4} - 0^3 + 2 \cdot 0 = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{4} - 0 = \frac{5}{4} \] 3. Analisando as alternativas: Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \( \frac{5}{4} \). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na formulação do problema. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!