Para calcular a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \), podemos usar a identidade de redução ou a substituição. Uma forma comum de resolver isso é usar a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \). Assim, podemos reescrever a integral: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \, dx \] Agora, vamos fazer a substituição \( u = \cos(x) \), então \( du = -\sin(x) \, dx \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \). Substituindo, temos: \[ \int \sin^3(x) \, dx = -\int (1 - u^2) \, du = -\left( u - \frac{u^3}{3} \right) + C \] Voltando para \( u = \cos(x) \): \[ = -\left( \cos(x) - \frac{\cos^3(x)}{3} \right) + C = \frac{1}{3} \cos^3(x) - \cos(x) + C \] Portanto, a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \) resulta em: \[ -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \] Assim, a alternativa correta é: a) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \).