Problema 52: Encontre o valor de \(\int_0^1 (2x^4 - 3x^2 + 1) \, dx\). a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(\frac{4}{5}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (2x^4 - 3x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(2x^4\): \[ \int 2x^4 \, dx = \frac{2}{5}x^5 \] 2. Integral de \(-3x^2\): \[ \int -3x^2 \, dx = -x^3 \] 3. Integral de \(1\): \[ \int 1 \, dx = x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^4 - 3x^2 + 1) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{2}{5}(1)^5 - (1)^3 + (1) \right] - \left[ \frac{2}{5}(0)^5 - (0)^3 + (0) \right] \] \[ = \left[ \frac{2}{5} - 1 + 1 \right] - [0] \] \[ = \frac{2}{5} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{2}{5}\). A alternativa correta é: b) \(\frac{2}{5}\).