Problema 56: Encontre o valor de \(\int_0^1 (5x^2 - 3x + 2) \, dx\). a) \(\frac{1}{3}\) b) \(\frac{5}{3}\) c) \(\frac{7}{3}\) d) \(\frac{8}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (5x^2 - 3x + 2) \, dx\), vamos calcular a integral indefinida primeiro. 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (5x^2 - 3x + 2) \, dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_0^1 \] Agora, substituímos \(x = 1\): \[ \frac{5}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 2 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo entre 3 e 2 é 6: \[ \frac{5}{3} = \frac{10}{6}, \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}, \quad 2 = \frac{12}{6} \] Agora, substituindo: \[ \frac{10}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} = \frac{10 - 9 + 12}{6} = \frac{13}{6} \] 3. Substituir \(x = 0\): \[ \left[ \frac{5}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) \right] = 0 \] 4. Resultado final: \[ \int_0^1 (5x^2 - 3x + 2) \, dx = \frac{13}{6} - 0 = \frac{13}{6} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \(\frac{13}{6}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.