Problema 53: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 2 d) Não existe

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \(x\) se aproxima de 0. 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(\tan(2x)\) é \(2\sec^2(2x)\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2\sec^2(0) = 2 \cdot 1 = 2. \] Portanto, o limite é \(2\). A alternativa correta é: c) 2.