Qual é a integral \( \int_0^1 (5x^2 - 3x + 1) \, dx \)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para resolver a integral \( \int_0^1 (5x^2 - 3x + 1) \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 5x^2 \) é \( \frac{5}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( -3x \) é \( -\frac{3}{2}x^2 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( 5x^2 - 3x + 1 \) é: \[ F(x) = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{5}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + (1) = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 1 \] Para calcular isso, vamos encontrar um denominador comum, que é 6: \[ F(1) = \frac{5}{3} = \frac{10}{6}, \quad -\frac{3}{2} = -\frac{9}{6}, \quad 1 = \frac{6}{6} \] Então: \[ F(1) = \frac{10}{6} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{10 - 9 + 6}{6} = \frac{7}{6} \] Agora, avaliamos \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 3. Calcular a integral: \[ \int_0^1 (5x^2 - 3x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{6} - 0 = \frac{7}{6} \] Como \( \frac{7}{6} \) não está entre as opções, parece que houve um erro nas opções fornecidas. No entanto, a resposta correta para a integral é \( \frac{7}{6} \). Se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a mais próxima seria a alternativa b) 1, mas a resposta exata é \( \frac{7}{6} \).