campeeonato LQYEA

Prévia do material em texto

b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador, 
resultando em \( 2 \). 
 
100. **Qual é a integral \( \int_0^1 (5x^2 - 3x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A primitiva é \( \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x \). Avaliando de \( 0 \) a \( 
1 \), temos \( \left(\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 1\right) = 1 \). 
 
Esses problemas cobrem uma variedade de tópicos em cálculo, incluindo integrais, 
limites, derivadas e mais. Cada questão é única e não se repete. Se precisar de mais 
informações ou ajustes, estou à disposição! 
Claro! Aqui estão 100 problemas de probabilidade complexos, com múltiplas escolhas, 
explicações detalhadas e sem repetições. Vamos lá: 
 
1. Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 2 bolas verdes. Se retirarmos 3 
bolas ao acaso, qual é a probabilidade de que exatamente 2 sejam vermelhas? 
 A) 0,25 
 B) 0,30 
 C) 0,35 
 D) 0,40 
 **Resposta: C)** 
 **Explicação:** Para calcular a probabilidade de retirar exatamente 2 bolas vermelhas, 
precisamos usar a combinação. O número total de maneiras de escolher 3 bolas de 10 é 
C(10,3). O número de maneiras de escolher 2 bolas vermelhas de 5 é C(5,2) e o número 
de maneiras de escolher 1 bola que não seja vermelha (3 azuis + 2 verdes = 5) é C(5,1). 
Portanto, a probabilidade é: 
 P = (C(5,2) * C(5,1)) / C(10,3) = (10 * 5) / 120 = 0,4167. 
 
2. Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 caras? 
 A) 0,25 
 B) 0,375 
 C) 0,5 
 D) 0,625 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** A probabilidade de obter exatamente 2 caras em 4 lançamentos de uma 
moeda é dada pela fórmula da distribuição binomial: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 
onde n é o número total de lançamentos, k é o número de sucessos, e p é a probabilidade 
de sucesso (0,5 para uma moeda justa). Assim, 
 P(X=2) = C(4,2) * (0,5)^2 * (0,5)^2 = 6 * 0,25 * 0,25 = 0,375. 
 
3. Em uma escola, 60% dos alunos são do sexo masculino. Se 5 alunos são escolhidos 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que exatamente 3 deles sejam do sexo 
masculino? 
 A) 0,2304 
 B) 0,3456 
 C) 0,432 
 D) 0,512 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** Novamente, usamos a distribuição binomial. Aqui, n = 5, k = 3, p = 0,6. 
Portanto, 
 P(X=3) = C(5,3) * (0,6)^3 * (0,4)^2 = 10 * 0,216 * 0,16 = 0,3456. 
 
4. Uma caixa contém 10 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Se 4 lâmpadas são 
selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que pelo menos uma delas seja 
defeituosa? 
 A) 0,736 
 B) 0,824 
 C) 0,912 
 D) 0,945 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** A probabilidade de pelo menos uma lâmpada ser defeituosa é igual a 1 
menos a probabilidade de que todas as lâmpadas selecionadas sejam boas. A 
probabilidade de escolher uma lâmpada boa é 7/10. Portanto, 
 P(todas boas) = C(7,4) / C(10,4) = 35/210 = 1/6. 
 Assim, P(pelo menos uma defeituosa) = 1 - P(todas boas) = 1 - 1/6 = 5/6 ≈ 0,736. 
 
5. Em uma cidade, 70% dos habitantes têm acesso à internet. Se 8 habitantes são 
escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de que exatamente 6 tenham acesso à 
internet? 
 A) 0,20736 
 B) 0,23328 
 C) 0,24576 
 D) 0,26112 
 **Resposta: B)** 
 **Explicação:** Usamos a distribuição binomial novamente. Aqui, n = 8, k = 6, p = 0,7. 
Portanto, 
 P(X=6) = C(8,6) * (0,7)^6 * (0,3)^2 = 28 * 0,117649 * 0,09 ≈ 0,23328. 
 
6. Uma fábrica produz 1000 peças, das quais 5% são defeituosas. Se 20 peças são 
selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que exatamente 2 sejam 
defeituosas? 
 A) 0,227 
 B) 0,250 
 C) 0,275 
 D) 0,300 
 **Resposta: A)** 
 **Explicação:** Aqui, n = 20, k = 2, p = 0,05. Portanto, 
 P(X=2) = C(20,2) * (0,05)^2 * (0,95)^(20-2) = 190 * 0,0025 * 0,6634 ≈ 0,227. 
 
7. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de obter pelo menos 4 caras? 
 A) 0,5 
 B) 0,625 
 C) 0,6875 
 D) 0,75