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Calcule a integral \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx.

a) \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C
b) \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C
c) \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| + C
d) \frac{1}{4} \ln|x^2 + 4| + C
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Para calcular a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição que envolve a função arco-tangente. Sabemos que a integral da forma \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\) é dada por \(\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\). No seu caso, temos \(a^2 = 4\), então \(a = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Correta. b) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| + C\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{4} \ln|x^2 + 4| + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\).

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Encontre a primitiva da função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \).

a) \( -\frac{1}{x} + C \)
b) \( \ln(x) + C \)
c) \( x + C \)
d) \( \frac{1}{x} + C \)

Calcule a integral \int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx.

a) \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C
b) \frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C
c) -\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C
d) -\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C

51. Determine o limite: \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}.

A) 5
B) 0
C) 1
D) Não existe

Encontre a primitiva de f(x) = e^{x^2}.

a) \frac{1}{2} e^{x^2} + C
b) \text{Não existe uma primitiva elementar}
c) e^{x^2} + C
d) e^{2x} + C

Determine o limite: \\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4}

a) 0
b) 1
c) 2
d) Não existe

Encontre a primitiva de \( f(x) = 3x^2 + 5x + 2 \).

a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \)
b) \( x^3 + 5x + 2 + C \)
c) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + C \)
d) \( x^3 + 5x^2 + 2 + C \)

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