Calcule \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( \frac{5}{3} \) D) \( \frac{4}{3} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 1 \). A antiderivada é: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir isso: \[ = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( \frac{5}{3} \) D) \( \frac{4}{3} \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto de \( \frac{7}{3} \). Portanto, parece que a questão pode ter um erro nas opções. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!