Qual é a integral definida \(\int_1^2 (x^2 + 1) \, dx\)? a) \(\frac{7}{3}\) b) \(\frac{5}{3}\) c) \(\frac{11}{3}\) d) \(\frac{8}{3}\)

Para resolver a integral definida \(\int_1^2 (x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro calcular a integral indefinida. A integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a integral de \(1\) é \(x\). Portanto, temos: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \] Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a 2: \[ \int_1^2 (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_1^2 \] Calculando os limites: 1. Para \(x = 2\): \[ \frac{2^3}{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \] 2. Para \(x = 1\): \[ \frac{1^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \] Agora, subtraímos os resultados: \[ \int_1^2 (x^2 + 1) \, dx = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \] Parece que houve um erro na análise das alternativas, pois a resposta correta não está listada. No entanto, se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a mais próxima seria a alternativa que não corresponde ao resultado correto. Se precisar de mais ajuda, estou à disposição!