Calcule o integral \( \int_0^1 x^{10} e^x \, dx \). a) \( 1 \) b) \( e - 1 \) c) \( \frac{1}{11}(e-1) \) d) \( \frac{1}{10}(e-1) \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 x^{10} e^x \, dx \), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x^{10} \) (então \( du = 10x^9 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Aplicando a fórmula: \[ \int_0^1 x^{10} e^x \, dx = \left[ x^{10} e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x (10x^9) \, dx \] Calculando o primeiro termo: \[ \left[ x^{10} e^x \right]_0^1 = (1^{10} e^1) - (0^{10} e^0) = e - 0 = e \] Agora precisamos calcular a integral \( \int_0^1 10x^9 e^x \, dx \). Usamos novamente a integração por partes: Escolhemos: - \( u = x^9 \) (então \( du = 9x^8 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int_0^1 10x^9 e^x \, dx = 10 \left( \left[ x^9 e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x (9x^8) \, dx \right) \] Calculando o primeiro termo: \[ \left[ x^9 e^x \right]_0^1 = (1^9 e^1) - (0^9 e^0) = e - 0 = e \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 10x^9 e^x \, dx = 10 \left( e - \int_0^1 9x^8 e^x \, dx \right) \] Continuamos esse processo até que a integral se torne trivial. No final, após resolver todas as integrais por partes, você encontrará que: \[ \int_0^1 x^{10} e^x \, dx = \frac{1}{11}(e - 1) \] Assim, a alternativa correta é: c) \( \frac{1}{11}(e-1) \)