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a) \( 0 \) 
 b) \( 2\pi i \) 
 c) \( -2\pi i \) 
 d) \( 4\pi i \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \). 
 **Explicação:** A função \( \frac{z^2}{(z-1)(z-2)} \) é holomorfa dentro do círculo de raio 
1, pois os polos \( z = 1 \) e \( z = 2 \) estão fora do círculo. Portanto, o integral é \( 0 \). 
 
75. Determine o valor de \( \text{Res}(f, 0) \) para \( f(z) = \frac{z^2}{e^z - 1} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{1}{6} \). 
 **Explicação:** A função \( e^z - 1 \) tem um zero de ordem 1 em \( z = 0 \). O resíduo é 
dado por \( \lim_{z \to 0} z f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z^3}{e^z - 1} = \frac{1}{6} \). 
 
76. Calcule o integral \( \int_0^1 x^{10} e^x \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( e - 1 \) 
 c) \( \frac{1}{11}(e-1) \) 
 d) \( \frac{1}{10}(e-1) \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{11}(e-1) \). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, temos \( u = x^{10} \) e \( dv = e^x dx \). 
Assim, \( du = 10x^9 dx \) e \( v = e^x \). O integral se torna \( x^{10} e^x \big|_0^1 - \int_0^1 
10x^9 e^x \, dx = e - 0 - 10\left( x^9 e^x \big|_0^1 - \int_0^1 9x^8 e^x \, dx \right) = e - 
10\left( e - 1 \right) = \frac{1}{11}(e-1) \). 
 
77. Determine o valor de \( \lim_{z \to 0} \frac{\tan(z)}{z} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** b) \( 1 \). 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \tan(z) \), temos \( \tan(z) = z + 
\frac{z^3}{3} + O(z^5) \). Assim, \( \frac{\tan(z)}{z} = 1 + \frac{z^2}{3} + O(z^4) \). Quando \( z 
\to 0 \), o limite é \( 1 \). 
 
78. Calcule o integral \( \int_C \frac{1}{z^4} \, dz \) onde \( C \) é o círculo de raio 1 centrado 
na origem. 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2\pi i \) 
 c) \( -2\pi i \) 
 d) \( 4\pi i \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \). 
 **Explicação:** A função \( \frac{1}{z^4} \) tem um polo de ordem 4 em \( z = 0 \). O 
integral de uma função holomorfa sobre um caminho fechado é zero. 
 
79. Determine o valor de \( \text{Res}(f, 1) \) para \( f(z) = \frac{1}{(z-1)^2} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( -2 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \). 
 **Explicação:** O resíduo em um polo de ordem 2 é zero, pois não existe um termo \( 
\frac{1}{(z-1)} \) na expansão da função em torno de \( z = 1 \). 
 
80. Calcule o integral \( \int_C \frac{z^2}{(z-1)(z-2)} \, dz \) onde \( C \) é o círculo de raio 1 
centrado na origem. 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2\pi i \) 
 c) \( -2\pi i \) 
 d) \( 4\pi i \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \). 
 **Explicação:** A função \( \frac{z^2}{(z-1)(z-2)} \) é holomorfa dentro do círculo de raio 
1, pois os polos \( z = 1 \) e \( z = 2 \) estão fora do círculo. Portanto, o integral é \( 0 \). 
 
81. Determine o valor de \( \text{Res}(f, 0) \) para \( f(z) = \frac{z^2}{e^z - 1} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{1}{6} \). 
 **Explicação:** A função \( e^z - 1 \) tem um zero de ordem 1 em \( z = 0 \). O resíduo é 
dado por \( \lim_{z \to 0} z f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z^3}{e^z - 1} = \frac{1}{6} \). 
 
82. Calcule o integral \( \int_0^1 x^{11} e^x \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( e - 1 \) 
 c) \( \frac{1}{12}(e-1) \) 
 d) \( \frac{1}{11}(e-1) \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{12}(e-1) \). 
 **Explicação:** Usando integração por partes, temos \( u = x^{11} \) e \( dv = e^x dx \). 
Assim, \( du = 11x^{10} dx \) e \( v = e^x \). O integral se torna \( x^{11} e^x \big|_0^1 - 
\int_0^1 11x^{10} e^x \, dx = e - 0 - 11\left( x^{10} e^x \big|_0^1 - \int_0^1 10x^9 e^x \, dx 
\right) = e - 11\left( e - 1 \right) = \frac{1}{12}(e-1) \). 
 
83. Determine o valor de \( \lim_{z \to 0} \frac{\tan(z)}{z} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** b) \( 1 \). 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \tan(z) \), temos \( \tan(z) = z + 
\frac{z^3}{3} + O(z^5) \). Assim, \( \frac{\tan(z)}{z} = 1 + \frac{z^2}{3} + O(z^4) \). Quando \( z 
\to 0 \), o limite é \( 1 \). 
 
84. Calcule o integral \( \int_C \frac{1}{z^4} \, dz \) onde \( C \) é o círculo de raio 1 centrado 
na origem. 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2\pi i \)