Para determinar a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \), precisamos lembrar que a série de Taylor é dada pela soma dos termos da forma: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] A função \( f(x) = \ln(1+x) \) tem a seguinte derivada: \[ f'(x) = \frac{1}{1+x} \] Calculando as derivadas em \( x = 0 \): - \( f(0) = \ln(1+0) = 0 \) - \( f'(0) = 1 \) - \( f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \) e \( f''(0) = -1 \) - \( f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \) e \( f'''(0) = 2 \) Assim, a série de Taylor se torna: \[ \ln(1+x) = 0 + 1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 - \ldots \] Isso pode ser reescrito como: \[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \)