Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( \frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{3} \) d) \( \frac{1}{8} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 3x^3 - 2x^2 + 1 \). 1. A antiderivada de \( 3x^3 \) é \( \frac{3}{4}x^4 \). 2. A antiderivada de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{3}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): \[ F(1) = \frac{3}{4}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 + (1) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} + 1 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 3 é 12: \[ F(1) = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{9 - 8 + 12}{12} = \frac{13}{12} \] Agora, calculamos \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{3}{4}(0)^4 - \frac{2}{3}(0)^3 + (0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (3x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{13}{12} - 0 = \frac{13}{12} \] Como essa resposta não está entre as alternativas, parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. Você pode verificar as opções novamente?