Qual é o valor de \( an(150^ ext{º} + 30^ ext{º}) \)? a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( -\sqrt{3} \) d) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) e) \( \sqrt{3} \)

Para calcular \( \tan(150^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] Neste caso, \( A = 150^\circ \) e \( B = 30^\circ \). Primeiro, precisamos encontrar \( \tan(150^\circ) \) e \( \tan(30^\circ) \): - \( \tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) (porque \( 150^\circ \) está no segundo quadrante) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Agora, substituímos na fórmula: \[ \tan(150^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(150^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(150^\circ) \tan(30^\circ)} \] Substituindo os valores: \[ \tan(150^\circ + 30^\circ) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \] O numerador se torna: \[ -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 \] E o denominador: \[ 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \] Portanto, temos: \[ \tan(150^\circ + 30^\circ) = \frac{0}{\frac{4}{3}} = 0 \] Assim, a resposta correta é: a) \( 0 \)