Calcule a integral \(\int_0^1 x^4 (1 - x^3) \, dx\). a) \(\frac{1}{6}\) b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{1}{12}\) d) \(\frac{1}{15}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 x^4 (1 - x^3) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral: \[ \int_0^1 x^4 (1 - x^3) \, dx = \int_0^1 (x^4 - x^7) \, dx \] Agora, podemos separar a integral: \[ \int_0^1 x^4 \, dx - \int_0^1 x^7 \, dx \] Calculando cada uma das integrais: 1. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}\) 2. \(\int_0^1 x^7 \, dx = \left[ \frac{x^8}{8} \right]_0^1 = \frac{1^8}{8} - \frac{0^8}{8} = \frac{1}{8}\) Agora, substituímos os resultados na expressão original: \[ \int_0^1 x^4 (1 - x^3) \, dx = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \] Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que é 40: \[ \frac{1}{5} = \frac{8}{40} \quad \text{e} \quad \frac{1}{8} = \frac{5}{40} \] Portanto: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8}{40} - \frac{5}{40} = \frac{3}{40} \] Agora, precisamos verificar se essa fração corresponde a alguma das alternativas. No entanto, nenhuma das opções apresentadas corresponde a \(\frac{3}{40}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois a resposta correta para a integral é \(\frac{3}{40}\). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!