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31. **Problema 31:** Calcule o valor de \(\int_0^\infty x e^{-x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), a integral se transforma e a resposta é 
obtida. 
 
32. **Problema 32:** Determine a integral \(\int_0^1 x^2 (1 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - 
\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\). 
 
33. **Problema 33:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{3x^2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
34. **Problema 34:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 
e^0 = 1\). 
 
35. **Problema 35:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^4 (1 - x^3) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{12}\) 
 d) \(\frac{1}{15}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Integrando, temos \(\int_0^1 (x^4 - x^7) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - 
\frac{x^8}{8}\right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{3}{40}\). 
 
36. **Problema 36:** Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(\ln(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é \(\tan^{-1}(x) + C\). 
 
37. **Problema 37:** Calcule o valor de \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{3/2} \, du\). 
 
38. **Problema 38:** Determine a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\). 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(x \ln(x) + 2x\) 
 c) \(x^2 \frac{1}{x}\) 
 d) \(2x^2 \ln(x)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = 2x \ln(x) + x\). 
 
39. **Problema 39:** Calcule a integral \(\int_0^1 \sin^2(\pi x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\frac{1}{2} \int_0^1 (1 - \cos(2\pi x)) \, dx\). 
 
40. **Problema 40:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k=5\). 
 
41. **Problema 41:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^4)^{1/4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{4}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{3}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^4\), a integral se torna \(\int_0^1 
u^{1/4} \, du\).