Calcule a integral \(\int_0^1 \sin^2(\pi x) \, dx\). a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{1}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\) d) \(\frac{1}{6}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 \sin^2(\pi x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \] Aplicando essa identidade, temos: \[ \sin^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} \] Substituindo na integral, obtemos: \[ \int_0^1 \sin^2(\pi x) \, dx = \int_0^1 \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} \, dx \] Isso pode ser separado em duas integrais: \[ = \frac{1}{2} \int_0^1 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^1 \cos(2\pi x) \, dx \] Calculando a primeira integral: \[ \int_0^1 1 \, dx = 1 \] Agora, a segunda integral: \[ \int_0^1 \cos(2\pi x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi} \right]_0^1 = \frac{\sin(2\pi)}{2\pi} - \frac{\sin(0)}{2\pi} = 0 \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 \sin^2(\pi x) \, dx = \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) = \frac{1}{2} \] Assim, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{2}\)