Problema 25: Calcule a derivada de f(x) = x^2 e^x. a) x^2 e^x + 2x e^x b) e^x (x^2 + 2x) c) 2x e^x d) x^2 e^x - 2x e^x

Para calcular a derivada da função \( f(x) = x^2 e^x \), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \) - \( v(x) = e^x \) e \( v'(x) = e^x \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2x)e^x + (x^2)(e^x) \] Podemos fatorar \( e^x \): \[ f'(x) = e^x(2x + x^2) \] Agora, reescrevendo isso, temos: \[ f'(x) = e^x(x^2 + 2x) \] Analisando as alternativas: a) \( x^2 e^x + 2x e^x \) - Esta é uma forma expandida, mas não é a forma mais simplificada. b) \( e^x (x^2 + 2x) \) - Esta é a forma correta e simplificada. c) \( 2x e^x \) - Esta é apenas a derivada de \( x^2 \) multiplicada por \( e^x \), não está correta. d) \( x^2 e^x - 2x e^x \) - Esta não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: b) e^x (x^2 + 2x).