Para calcular a integral \(\int x^3 \ln(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula para integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x^3 \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{1}{4} x^4\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \int \frac{1}{4} x^4 \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral: \[ = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \] Calculando a integral \(\int x^3 \, dx\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{1}{4} x^4 \] Substituindo de volta: \[ = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 \] \[ = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 \] Portanto, a integral é: \[ \int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C \] Assim, a alternativa correta é a) \((1/4) x^4 \ln(x) - (1/16) x^4 + C\).