teste para a aula de hoje afh

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A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 3 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 
\] 
 
**59.** Encontre a derivada de \( f(x) = x^2 e^{x^2} \). 
A) \( 2x e^{x^2} + 2x^3 e^{x^2} \) 
B) \( 2x e^{x^2} \) 
C) \( 2x^2 e^{x^2} \) 
D) \( 2x^2 e^{x^2} + x^2 e^{x^2} \) 
**Resposta:** A) \( 2x e^{x^2} + 2x^3 e^{x^2} \) 
**Explicação:** Usando a regra do produto: 
\[ 
f'(x) = 2x e^{x^2} + x^2 \cdot 2x e^{x^2} = 2x e^{x^2} (1 + x^2) 
\] 
 
**60.** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C \) 
B) \( \frac{1}{2} \ln\left|x^2 - 4\right| + C \) 
C) \( \frac{1}{2} \ln\left|x^2 + 4\right| + C \) 
D) \( \frac{1}{2} \ln\left|2 - x^2\right| + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C \) 
**Explicação:** Decompondo em frações parciais, obtemos a resposta. 
 
**61.** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x) \, dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** A integral é calculada como: 
\[ 
\int_{0}^{1} (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x) \, dx = 0 
\] 
 
**62.** Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 3 
**Explicação:** Usando L'Hôpital ou fatorando: 
\[ 
\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 
\] 
 
**63.** Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
A) \( 2x \cos(x^2) \) 
B) \( \cos(x^2) \) 
C) \( 2x \sin(x^2) \) 
D) \( -2x \sin(x^2) \) 
**Resposta:** A) \( 2x \cos(x^2) \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia: 
\[ 
f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x 
\] 
 
**64.** Calcule a integral \( \int x^3 \ln(x) \, dx \). 
A) \( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C \) 
B) \( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) + C \) 
C) \( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{4} x^4 + C \) 
D) \( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{8} x^4 + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C \) 
**Explicação:** Usando integração por partes. 
 
**65.** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5) \, dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** A integral é calculada como: 
\[ 
\int_{0}^{1} (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5) \, dx = 0 
\] 
 
**66.** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 5 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 5 
**Explicação:** Usando L'Hôpital, obtemos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{5}{1 + 5x} = 5 
\] 
 
**67.** Encontre a derivada de \( f(x) = e^{x^2 + 1} \).