Cálculo III - Apostila 1 Completa

18/08/2016 1 FUNÇÕES VETORIAIS: INTRODUÇÃO Docente: Bênia Rilho E-mail: beniacr@sapucaia.ifsul.edu.br Definição : k t z j t y i t x t r r ou j t y i t x t r r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + = = + = = C x y z As funções x (t), y(t) e z(t) s ão as componentes de r . EX: k t j t ti t t t t r 3 2 3 2 ) , , ( ) ( + + = = Seja D um s ubconjunto de IR. Um a função vetorial de uma variável , r , com domínio D, é uma c orrespondência que a c ada número real t de D ass ocia som ente um vetor r (t) em IR n . plano espaço 18/08/2016 2 Domínio de uma função vetorial É o conjunto de todos os valores admissíveis para t. Quando ele não estiver especificado, convencio namos que será a intersecçã o dos domínios natur ais das funções componentes. k t j e i t r t + + \u2212 = ) 1 (ln EX: { } + \u211c = \u21d2 = \u211c = \u21d2 = \u2212 \u211c = \u21d2 \u2212 = D t z D e y D t x t 1 1 ln [ [ ] [ +\u221e \u222a = , 1 1 , 0 D Gráficos de funç ões vetoria is Definimos o gráfico d e r(t) como a curva pa ramétrica descrita por suas componentes. Tal curva é traçada num sentido específico à medida que t cresce. Esse sentido é chamado de ORIENT AÇÃO ou DIREÇÃO de cresci mento do parâmetro. 18/08/2016 3 Construa o gráfico das funções v etoriais a seguir: ) 2 , 3 3 , 1 ( ) ( 1 . t t t t r EX + \u2212 = ) , (cos ) ( 2 . sent t t r EX = 18/08/2016 4 ) , , (cos ) ( 3 . t sent t t r EX = ) 3 , 2 , cos 2 ( ) ( 4 . sent t t r EX = 18/08/2016 5 ) 1 , 2 ² ( ) ( 5 . + \u2212 = t t t t r EX ) 2 3 , cos 2 1 ( ) ( 6 . t sen t t r EX + + \u2212 = Dê a equação paramétrica de uma circunferê ncia de centro C(x 0 ,y 0 ) e raio r . 18/08/2016 6 EX. 7. Determine uma equação v etorial que represent e a curva obtida pela intersec ção d o cilindro x 2 +y 2 =1 com o plano y+z=2. FORMA VETORIAL DE UM SEGMENTO DE RETA Vimos em Álgebra Lin ear que: tv r r + = 0 Equação vetorial da reta Como ,temos: 0 1 r r v \u2212 = ) ( 0 1 0 r r t r r \u2212 + = ou 1 0 ) 1 ( tr r t r + \u2212 = que a forma vetorial de uma reta por 2 pontos. Se quisermos representar apenas o segmento que vai de r 0 a r 1 temos que restringir . 1 0 \u2264 \u2264 t 18/08/2016 7 Parametrize o segmento de reta dado abaixo: a) b) CÁLCULO DE FUNÇÕES VETORIAIS Docente: Bênia Rilho E-mail: beniacr@sapucaia.ifsul.edu.br 18/08/2016 8 Limites 0 ) ( ) ( lim lim = \u2212 \u21d4 = \u2192 \u2192 L t r L t r a t a t Definiçã o: Se ja r(t) uma função vetorial definida para todo t de algum intervalo aberto contendo o número a, ex ceto que r(t) não preci sa estar definida em a. Escrevemos : L r(t) r(t)-L L t r \u2212 ) ( é a distânc ia entre os pontos finais de r(t) e L qu ando esses vetores estão posicion ados com mesmo ponto inicial. TEOREM A k t z j t y i t x t r k t z j t y i t x t r a t a t a t a t ) ( li m ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 + + = \u21d3 + + = Sempre que ex istirem os lim ites das funções componentes . 18/08/2016 9 Seja a função vetorial: , encontre o limite da função quando . EXEMPLO: Aplicando L \u2019Hôpital: CONTINUIDADE Dizemos que uma função vetorial é contínua em x = a se : ) ( lim ) ( ) ) ( lim ) ) ( ) t r a r ii i t r ii a r i a t a t \u2192 \u2192 = \u2203 \u2203 18/08/2016 10 DERIVADAS Definiçã o: Se r(t) for uma função vetorial, definim os a derivada de r em relação a t como a função v etorial r \u2019 dada por: h t r h t r t r h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 \u2212 + = \u2192 Notação: ' ); ( ' ; ); ( r t r dt dr t r dt d Interpretação geométrica da derivada 0 > h 0 h 1º CASO: 2º CASO: r(t) r(t+h) r(t) r(t+h) h t r h t r ) ( ) ( \u2212 + Observe que o vetor: aponta na direção do parâm etro cresce nte e percorre a reta secante.

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