Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \). A) \( \frac{1}{4} \) B) \( \frac{1}{3} \) C) \( \frac{1}{2} \) D) \( \frac{5}{12} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral de cada termo separadamente: \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \int x^3 \, dx + \int x^2 \, dx \] 2. Calcular as integrais: - A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). - A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Portanto: \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \] 3. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \] Agora, substituímos os limites: \[ = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) - 0 \] 4. Somar as frações: Para somar \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \), precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{e} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \] Portanto: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} \] Assim, o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \) é \( \frac{7}{12} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \( \frac{7}{12} \). Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.