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53. **Problema 53:** Resolva a equação diferencial \( y' + 2y = 0 \). 
 - A) \( y = Ce^{-2x} \) 
 - B) \( y = Ce^{2x} \) 
 - C) \( y = Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = Ce^{x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-2x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada pela função exponencial. 
 
54. **Problema 54:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{4} \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \) 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{4} + 
\frac{2}{3} = \frac{5}{12} \). 
 
55. **Problema 55:** Determine o valor de \( \int e^{-x} \sin(x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{-x}(\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 - B) \( e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 - C) \( -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) 
 - D) \( -e^{-x}(\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{-x}(\sin(x) - \cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes duas vezes para resolver a integral. 
 
56. **Problema 56:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 - A) 0 
 - B) -1 
 - C) \( -\frac{1}{2} \) 
 - D) 1 
 **Resposta:** C) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador, 
resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = 0 \). 
 
57. **Problema 57:** Resolva a equação diferencial \( y' + y = 2 \). 
 - A) \( y = Ce^{-x} + 2 \) 
 - B) \( y = Ce^{x} + 2 \) 
 - C) \( y = Ce^{-2x} + 2 \) 
 - D) \( y = Ce^{2x} + 2 \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-x} + 2 \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator 
integrante é \( e^{\int 1 \, dx} = e^{x} \). 
 
58. **Problema 58:** Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( \frac{5}{6} \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = (1 - 1 + 1) = 1 \). 
 
59. **Problema 59:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{3} \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( \frac{5}{6} \) 
 - D) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} + 
1\right) = \frac{4}{3} \). 
 
60. **Problema 60:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador, 
resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{2x} = 1 \). 
 
61. **Problema 61:** Resolva a equação diferencial \( y' + 2y = 3x \). 
 - A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \) 
 - B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) 
 - C) \( y = Ce^{-2x} - \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) 
 - D) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}x + \frac{3}{8} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator 
integrante é \( e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \). 
 
62. **Problema 62:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) \, dx \). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral representa a área sob a curva de \( (x-1)^3 \), que é zero em \( 
x=0 \) e \( x=1 \). 
 
63. **Problema 63:** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \). 
 - A) \( \frac{1}{4} \) 
 - B) \( \frac{1}{3} \) 
 - C) \( \frac{1}{2} \) 
 - D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta:** D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{12} \).