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O que é a integral \int (x^3 + 2x^2 + x) \, dx?

A) \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
B) \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{x^2}{2} + C
C) \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x + C
D) x^4 + x^3 + x^2 + C
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ESTÁCIO

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Para resolver a integral \(\int (x^3 + 2x^2 + x) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A integral de \(2x^2\) é \(2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}\). 3. A integral de \(x\) é \(\frac{x^2}{2}\). Agora, somando todos os resultados, temos: \[ \int (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\) - Correta. B) \(\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{x^2}{2} + C\) - Incorreta. C) \(\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x + C\) - Incorreta. D) \(x^4 + x^3 + x^2 + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C\).

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