Para encontrar os autovalores da transformação \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x,y) = (3x - 3y, -x + 5y) \), precisamos primeiro representar essa transformação na forma de uma matriz. A matriz associada a \( T \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \] Os autovalores \( \lambda \) são encontrados resolvendo a equação característica: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] onde \( I \) é a matriz identidade. Assim, temos: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & -3 \\ -1 & 5 - \lambda \end{pmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(5 - \lambda) - (-3)(-1) = (3 - \lambda)(5 - \lambda) - 3 \] Expandindo: \[ = 15 - 8\lambda + \lambda^2 - 3 = \lambda^2 - 8\lambda + 12 \] Agora, igualamos a zero: \[ \lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0 \] Fatorando: \[ (\lambda - 6)(\lambda - 2) = 0 \] Portanto, os autovalores são: \[ \lambda_1 = 6 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = 2 \] Assim, a alternativa correta que representa os autovalores de \( T \) é 2 e 6.