Determine o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 2x^3 + 3) \, dx \). A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( 0 \) D) \( -1 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^5 - 2x^3 + 3) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^5 \): \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} \] 2. Integral de \( -2x^3 \): \[ \int -2x^3 \, dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2} \] 3. Integral de \( 3 \): \[ \int 3 \, dx = 3x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 - 2x^3 + 3) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{x^4}{2} + 3x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{1^4}{2} + 3(1) \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - \frac{0^4}{2} + 3(0) \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + 3 \right] - [0] \] \[ = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{18}{6} = \frac{1 - 3 + 18}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] Como \( \frac{8}{3} \) não está entre as opções, parece que houve um erro nas opções fornecidas. No entanto, se considerarmos a integral corretamente, o resultado é \( \frac{8}{3} \). Se você precisar de um valor aproximado, \( \frac{8}{3} \) é aproximadamente \( 2.67 \), que não corresponde a nenhuma das opções. Portanto, a resposta correta não está listada entre as alternativas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!