Determine \( \lim_{x o 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2} \). a) 0 b) 1 c) 4 d) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2} \), podemos usar a propriedade do limite que diz que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Primeiro, vamos reescrever a expressão: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(2x)}{x} \right)^2 \] Agora, podemos manipular a fração: \[ \frac{\sin(2x)}{x} = \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 \] Assim, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(2x)}{x} \right)^2 = (2)^2 = 4 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x^2} = 4 \] A alternativa correta é: c) 4.