Qual é o valor de \int_0^1 x \sin(x) \, dx? a) 1 - \cos(1) b) \frac{1}{2} - \cos(1) c) \frac{1}{2} + \cos(1) d) 0

Para resolver a integral \(\int_0^1 x \sin(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. Vamos definir: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = \sin(x) \, dx\) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo os valores: \[ \int_0^1 x \sin(x) \, dx = \left[-x \cos(x)\right]_0^1 + \int_0^1 \cos(x) \, dx \] Calculando a primeira parte: \[ \left[-x \cos(x)\right]_0^1 = -1 \cdot \cos(1) - 0 \cdot \cos(0) = -\cos(1) \] Agora, calculamos a integral \(\int_0^1 \cos(x) \, dx\): \[ \int_0^1 \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_0^1 = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1) \] Portanto, juntando tudo: \[ \int_0^1 x \sin(x) \, dx = -\cos(1) + \sin(1) \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde diretamente a \(-\cos(1) + \sin(1)\). Entretanto, se considerarmos que a integral não foi simplificada corretamente nas opções, a resposta correta não está entre as alternativas dadas. Se você precisar de mais ajuda com a integral ou com as opções, sinta-se à vontade para perguntar!