Para calcular a integral \(\int x e^{2x} \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^{2x} dx\) \(\Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x}\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x e^{2x} \, dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx \] Calculando a integral restante: \[ \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = \frac{1}{4} e^{2x} \] Substituindo de volta na equação: \[ \int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \] Agora, podemos reescrever isso como: \[ \int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \left( x - \frac{1}{2} \right) + C \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{2} e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C\) - Correta. B) \(\frac{1}{2} e^{2x} (x + \frac{1}{2}) + C\) - Incorreta. C) \(e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C\) - Incorreta. D) \(e^{2x} (x + \frac{1}{2}) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2} e^{2x} (x - \frac{1}{2}) + C\).