Para resolver a equação diferencial \(y' = 4y + 1\), podemos usar o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante. Neste caso, vamos usar o método do fator integrante. 1. Reescrevemos a equação na forma padrão: \[ y' - 4y = 1 \] 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int -4 \, dx} = e^{-4x} \] 3. Multiplicamos toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{-4x}y' - 4e^{-4x}y = e^{-4x} \] 4. A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{-4x}y) = e^{-4x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{-4x}y = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C \] 6. Multiplicando por \( e^{4x} \) para isolar \( y \): \[ y = -\frac{1}{4} + Ce^{4x} \] Assim, a solução geral da equação é: \[ y = Ce^{4x} - \frac{1}{4} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(y = Ce^{4x} - \frac{1}{4}\)