Problema 24: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx \). a) 1 b) 3 c) 2 d) 4

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A integral de \( 3x \) é \( \frac{3x^2}{2} \). 4. A integral de \( 4 \) é \( 4x \). Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x + C \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{2(1^3)}{3} + \frac{3(1^2)}{2} + 4(1) \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{2(0^3)}{3} + \frac{3(0^2)}{2} + 4(0) \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 4 \right] \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar: O mínimo múltiplo comum de 4, 3 e 2 é 12. Convertendo cada termo: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{2} = \frac{18}{12}, \quad 4 = \frac{48}{12} \] Somando: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{18}{12} + \frac{48}{12} = \frac{77}{12} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx = \frac{77}{12} \). Nenhuma das alternativas apresentadas (1, 2, 3, 4) corresponde ao resultado correto. Você pode precisar verificar as opções ou o enunciado da questão.